Deduzir a equação do elipsóide tipico (centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados), que passa pelos pontos dados. Utilizar a forma A x^2+b y^2+C z^2=D.
(2,-1,1),(-3,0,0),(1,-1,-2).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um elipsóide centrado na origem e com eixos paralelos aos eixos coordenados na forma A x^2 + B y^2 + C z^2 = D. Vamos usar os três pontos dados para montar um sistema que relaciona A, B, C e D.

Passo 2

Para cada ponto (x,y,z) que pertence ao elipsóide, vale
A x^2 + B y^2 + C z^2 = D
Aplicando nos pontos:
• Para (-3,0,0):
Acdot(-3)^2 + Bcdot0^2 + Ccdot0^2 = D implies 9A = D
• Para (2,-1,1):
Acdot2^2 + Bcdot(-1)^2 + Ccdot1^2 = D implies 4A + B + C = D
• Para (1,-1,-2):
Acdot1^2 + Bcdot(-1)^2 + Ccdot(-2)^2 = D implies A + B + 4C = D

Passo 3

Como D = 9A, substituímos nas duas últimas equações:
4A + B + C = 9A implies B + C = 5A,
A + B + 4C = 9A implies B + 4C = 8A

Passo 4

Subtraindo as duas:
(B + 4C) - (B + C) = 8A - 5A implies 3C = 3A implies C = A
Então de B + C = 5A vem B + A = 5A e portanto (B = 4A.
O sistema fica A : B : C : D = A : 4A : A : 9A. Como a equação pode ser multiplicada por qualquer constante, escolhemos A = 1 para simplificar.

Passo 5

Substituindo A=1, temos B=4, C=1, D=9, e a equação do elipsóide é:
x^2 + 4y^2 + z^2 = 9

Resposta

x^2 + 4y^2 + z^2 = 9

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