Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto:
Que se move de maneira que é sempre equidistante dos dois pontos
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, 4)
Que se move de maneira que é sempre equidistante dos dois pontos
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde precisa encontrar a equação de um lugar geométrico. Basicamente, isso quer dizer que a gente precisa descobrir todas as posições possíveis de um ponto que está sempre na mesma distância dos dois pontos fixos, que são A(1, -2) e B(5, 4). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente aqueles que envolvem distância entre pontos e equações de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Se tivermos dois pontos $ P(x_1, y_1) $ e $ Q(x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada pela fórmula:
No nosso caso, queremos que a distância do ponto qualquer $ P(x, y) $ até A(1, -2) seja igual à distância dele até B(5, 4). Então, podemos escrever:
Passo 3
Para simplificar essa equação, vamos eliminar as raízes quadradas. Para isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Agora, vamos expandir os quadrados:
Passo 4
Vamos simplificar a equação cancelando termos iguais dos dois lados. Subtraindo $ x^2 $ e $ y^2 $ de ambos os lados, ficamos com:
Agora, vamos reunir os termos semelhantes:
Passo 5
Vamos mover todos os termos com $ x $ e $ y $ para um lado e os constantes para o outro:
Simplificando:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:
Essa é a equação da reta que representa o lugar geométrico dos pontos que estão sempre a mesma distância de A(1, -2) e B(5, 4).
Resposta
A equação do lugar geométrico é $ 2x + 3y = 9 $.