Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto:
Que se move de maneira que é sempre equidistante dos dois pontos A(1, - 2) e B(5, 4)

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisa encontrar a equação de um lugar geométrico. Basicamente, isso quer dizer que a gente precisa descobrir todas as posições possíveis de um ponto que está sempre na mesma distância dos dois pontos fixos, que são A(1, -2) e B(5, 4). Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente aqueles que envolvem distância entre pontos e equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Se tivermos dois pontos $ P(x_1, y_1) $ e $ Q(x_2, y_2) $, a distância $ d $ entre eles é dada pela fórmula:
P(x1, y1)
No nosso caso, queremos que a distância do ponto qualquer $ P(x, y) $ até A(1, -2) seja igual à distância dele até B(5, 4). Então, podemos escrever:
Q(x2, y2)

Passo 3

Para simplificar essa equação, vamos eliminar as raízes quadradas. Para isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = (x - 5)^2 + (y - 4)^2
Agora, vamos expandir os quadrados:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = (x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 8y + 16)

Passo 4

Vamos simplificar a equação cancelando termos iguais dos dois lados. Subtraindo $ x^2 $ e $ y^2 $ de ambos os lados, ficamos com:
x^2
Agora, vamos reunir os termos semelhantes:
y^2

Passo 5

Vamos mover todos os termos com $ x $ e $ y $ para um lado e os constantes para o outro:
x
Simplificando:
y

Passo 6

Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 4:
2x + 3y = 9
Essa é a equação da reta que representa o lugar geométrico dos pontos que estão sempre a mesma distância de A(1, -2) e B(5, 4).

Resposta

A equação do lugar geométrico é $ 2x + 3y = 9 $.

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