Determinar a equação do lugar geométrico de um ponto:
Que se move de maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos
e
é sempre igual a 8
Que se move de maneira que a soma de suas distâncias a dois pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de forma que a soma das suas distâncias aos pontos A(3, 0) e B(-3, 0) seja sempre igual a 8. O assunto aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre elipses, e vamos precisar usar as propriedades das elipses para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a soma das distâncias ser constante. Quando você tem dois pontos fixos, chamados de focos (nesse caso, A e B), e todos os pontos que têm a soma das distâncias a esses dois focos igual a uma constante, esses pontos formam uma elipse. Então, estamos lidando com uma elipse aqui.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a forma padrão da equação de uma elipse com focos na horizontal:
Nessa equação:
- $ a $ é a distância do centro até os vértices na horizontal.
- $ b $ é a distância do centro até os vértices na vertical.
- A soma das distâncias dos pontos da elipse aos focos é igual a $ 2a $.
Passo 4
Sabemos que a soma das distâncias é 8, ou seja, $ 2a = 8 $. Então, podemos encontrar $ a $:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a distância entre os dois focos para determinar o valor de $ c $, onde $ c $ é a distância do centro até cada foco. Os pontos A(3, 0) e B(-3, 0) estão a uma distância de 6 unidades um do outro, então:
Passo 6
Sabemos que em uma elipse, a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $ é dada por:
Vamos usar isso para encontrar $ b^{2} $:
Passo 7
Agora que temos $ a^{2} = 16 $ e $ b^{2} = 7 $, podemos substituir na equação padrão da elipse:
Resposta
A equação do lugar geométrico é: