Escreva a equação do lugar geométrico de um ponto, que se move de maneira que:
Está sempre à igual distância dos eixos x e y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos a equação que descreve o caminho de um ponto que sempre está à mesma distância dos eixos $ x $ e $ y $. Isso envolve entender conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto aos eixos. Para um ponto qualquer $ (x, y) $:
  • A distância até o eixo $ x $ é igual ao valor absoluto de $ y $, ou seja, $ |y| $.
  • A distância até o eixo $ y $ é igual ao valor absoluto de $ x $, ou seja, $ |x| $.

Passo 3

Como o ponto está sempre à mesma distância dos eixos $ x $ e $ y $, podemos igualar essas duas distâncias:
x

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação. A igualdade $ |x| = |y| $ significa que $ y $ pode ser igual a $ x $ ou a $ -x $. Portanto, temos duas possibilidades:
  1. $ y = x $
  2. $ y = -x $

Passo 5

Essas duas equações representam linhas retas no plano cartesiano. A linha $ y = x $ é uma reta que passa pela origem com inclinação de 45°, e a linha $ y = -x $ também passa pela origem, mas com inclinação de -45°. Juntas, elas formam um “X” no gráfico.

Resposta

A equação do lugar geométrico é $ y = x $ ou $ y = -x $.

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