Determinar a equação da parábola:
(d) de foco F(3,3) e diretriz y-5=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é F(3,3) e a diretriz é a reta
y - 5 = 0\quad\Longrightarrow\quad y = 5.
O conteúdo aqui é a definição de parábola: o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta e a distância euclidiana ao foco.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. A distância de P ao foco F(3,3) é
\sqrt{(x-3)^2+(y-3)^2},
e a distância de P à diretriz y=5 (reta horizontal) é
\frac{\bigl|y-5\bigr|}{\sqrt{0^2+1^2}} = |y-5|.
Pela definição de parábola, igualamos essas distâncias:
\sqrt{(x-3)^2+(y-3)^2} = |y-5|.

Passo 3

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto, obtemos
(x-3)^2 + (y-3)^2 = (y-5)^2.
Agora vamos expandir cada termo:
(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9, \quad (y-3)^2 = y^2 - 6y + 9, \quad (y-5)^2 = y^2 - 10y + 25.
Substituindo na equação:
x^2 - 6x + 9 \;+\; y^2 - 6y + 9 \;=\; y^2 - 10y + 25.

Passo 4

Cancelamos y^2 dos dois lados e juntamos termos semelhantes:
x^2 - 6x + 9 + 9 - 6y = -10y + 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 6x + 18 - 6y = -10y + 25.
Passando -10y para o lado esquerdo e 18 para o direito:
x^2 - 6x + 18 + 4y = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 6x + 4y = 7.
Isolando y:
4y = -\,x^2 + 6x + 7 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{6}{4}x + \tfrac{7}{4} \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{3}{2}x + \tfrac{7}{4}.

Resposta

A equação da parábola é
y = -\tfrac{1}{4}x^2 + \tfrac{3}{2}x + \tfrac{7}{4},
que também pode ser escrita em forma vértice como
y = 4 \;-\;\tfrac{1}{4}(x-3)^2.

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