Determine a equação da hipérbole nos seguintes casos:
Determine a equação da hipérbole que tem como uma assíntota a reta 2 x+3 \sqrt{2} y=0, o eixo horizontal e passa pelo ponto (3,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole que tem como assíntotas a reta
2x + 3\sqrt{2}\,y = 0
e o eixo horizontal y=0, e que passa pelo ponto (3,1).
O conteúdo que vamos usar é que, se uma hipérbole tem centro na interseção das assíntotas L_1=0 e L_2=0, sua equação geral pode ser escrita como
L_1\cdot L_2 = \text{constante}.

Passo 2

As assíntotas são
L_1:\;y=0, \qquad L_2:\;2x+3\sqrt{2}\,y=0.
Elas se cruzam em (0,0), de modo que o centro é a origem. Logo a hipérbole pode ser escrita como
y\;\bigl(2x + 3\sqrt{2}\,y\bigr) = C,
onde C é uma constante a determinar.

Passo 3

Como a hipérbole passa pelo ponto (3,1), substituímos (x,y)=(3,1) na equação acima:
1\;\bigl(2\cdot3 + 3\sqrt{2}\cdot1\bigr) = 2\cdot3 + 3\sqrt{2} = 6 + 3\sqrt{2}.
Logo C = 6 + 3\sqrt{2}.

Passo 4

Portanto a equação da hipérbole é
y\;\bigl(2x + 3\sqrt{2}\,y\bigr) \;=\; 6 + 3\sqrt{2}.

Resposta

y\,(2x + 3\sqrt{2}\,y) = 6 + 3\sqrt{2}.

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