Determinar a equação da parábola:
(n) \operatorname{com} F(5,2) e diretriz x-7=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola com foco em (5,2) e diretriz x-7=0. Vamos usar a definição: um ponto (x,y) pertence à parábola se sua distância ao foco for igual à distância à reta diretriz.

Passo 2

A distância de (x,y) ao foco (5,2) é
\sqrt{(x-5)^2 + (y-2)^2}
e a distância de (x,y) à diretriz x=7 é |x-7|. Logo, pela definição,
\sqrt{(x-5)^2 + (y-2)^2} = |x-7|.
Elevando ao quadrado, vem
(x-5)^2 + (y-2)^2 = (x-7)^2.

Passo 3

Expandindo os quadrados:
(x-5)^2 + (y-2)^2 = x^2 -10x +25 + y^2 -4y +4,
(x-7)^2 = x^2 -14x +49.
Cancelando x^2 e juntando termos, obtemos
-10x + y^2 -4y +29 = -14x +49 \quad\Longrightarrow\quad y^2 -4y +4x -20 = 0.

Passo 4

Isolando 4x em y^2 -4y +4x -20=0:
4x = -\,y^2 +4y +20.
Complete o quadrado em y:
-\,y^2 +4y = -\bigl(y^2 -4y\bigr) = -\bigl[(y-2)^2 -4\bigr] = -\,(y-2)^2 +4.
Então
4x = -\,(y-2)^2 +4 +20 = -\,(y-2)^2 +24,
dividindo por 4,
x = 6 - \tfrac{1}{4}(y-2)^2,
o que em forma padrão de vértice fica
(y-2)^2 = -4\,(x-6).

Resposta

(y-2)^2 = -4\,(x-6)

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