Determinar a equação do plano que contém a reta r:\left\{\begin{array}{r}3 x+2 y+5 z+6=0 \\\ x+4 y+3 z+4=0\end{array}\right., é paralelo à reta s: \frac{x-1}{3}=\frac{y-5}{3}=-\frac{z+1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano que satisfaz duas condições simultâneas:
  • contém a reta r dada como interseção de dois planos:
3x+2y+5z+6=0
x+4y+3z+4=0,
  • é paralelo à reta s dada na forma simétrica
\frac{x-1}{3}=\frac{y-5}{3}=-\frac{z+1}{3}.
Informações relevantes que o enunciado deu:
  • Os dois planos que definem r têm vetores normais \mathbf{n}_1=(3,2,5) e \mathbf{n}_2=(1,4,3).
  • A reta s tem coeficiente de direção proporcional a (3,3,-3) (veja a conversão em passo separado).
  • Quer-se a equação do plano que contém toda a reta r e que seja paralelo a s.

Passo 2

Encontrar o vetor diretor de r.
Razão: a reta dada como interseção de dois planos tem direção perpendicular aos dois vetores normais desses planos; portanto um vetor diretor de r é o produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Recordando o produto vetorial: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Aplicando com \mathbf{n}_1=(3,2,5) e \mathbf{n}_2=(1,4,3):
\mathbf{v}_r=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 =\bigl(2\cdot3-5\cdot4,\;5\cdot1-3\cdot3,\;3\cdot4-2\cdot1\bigr) =(-14,\,-4,\,10).
Podemos simplificar por -2 e usar o vetor equivalente
\mathbf{v}_r=(7,2,-5).

Passo 3

Encontrar o vetor diretor de s.
Converter a forma simétrica para a forma paramétrica: seja t o parâmetro comum. Da igualdade
\frac{x-1}{3}=\frac{y-5}{3}=-\frac{z+1}{3}=t
obtemos
x=1+3t,\qquad y=5+3t,\qquad z=-1-3t.
Portanto um vetor diretor de s é
\mathbf{v}_s=(3,3,-3),
que é proporcional a (1,1,-1). Para cálculo de direção podemos usar \mathbf{v}_s=(1,1,-1).

Passo 4

Achar um ponto qualquer da reta r (um ponto para fixar o plano).
Resolvendo o sistema dos dois planos, vamos eliminar variáveis passo a passo.
Temos
3x+2y+5z+6=0 \quad(1)
x+4y+3z+4=0 \quad(2).
Multiplicando (2) por 3 e subtraindo (1) eliminamos x:
(3x+12y+9z+12)-(3x+2y+5z+6)=0
10y+4z+6=0.
Simplificando por 2:
5y+2z+3=0 \quad\Rightarrow\quad z=-\frac{5y+3}{2}.
Agora substituímos em (2) para achar x:
x+4y+3\left(-\frac{5y+3}{2}\right)+4=0.
Calculemos cuidadosamente:
x+4y-\frac{15y+9}{2}+4=0
x+\frac{8y-(15y+9)}{2}+4=0
x+\frac{-7y-9}{2}+4=0
x=\frac{7y+9}{2}-4=\frac{7y+9-8}{2}=\frac{7y+1}{2}.
Escolhendo y=0 (escolha conveniente), obtém-se
x=\frac{1}{2},\qquad y=0,\qquad z=-\frac{3}{2}.
Logo um ponto de r é P_0=\left(\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{3}{2}\right).

Passo 5

Caracterizar o plano procurado: um plano que contém a reta r contém o vetor diretor \mathbf{v}_r e passa pelo ponto P_0. Além disso o plano é paralelo à reta s, logo o vetor diretor \mathbf{v}_s de s também deve estar contido (ou ser paralelo) ao plano. Assim o plano contém dois vetores não-colineares \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s; deles obtemos um vetor normal ao plano por produto vetorial.
Logo o vetor normal do plano é
\mathbf{n}_{\text{pl}}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s.

Passo 6

Calcular o produto vetorial \mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s com \mathbf{v}_r=(7,2,-5) e \mathbf{v}_s=(1,1,-1):
\mathbf{n}_{\text{pl}}=\bigl(2\cdot(-1)-(-5)\cdot1,\;(-5)\cdot1-7\cdot(-1),\;7\cdot1-2\cdot1\bigr).
Calculando os componentes:
\mathbf{n}_{\text{pl}}=( -2 +5,\; -5 +7,\; 7-2)=(3,2,5).
Observação importante (útil na prova): \mathbf{n}_{\text{pl}}=(3,2,5) coincide com o vetor normal do primeiro plano dado. Isso indica que o próprio primeiro plano
3x+2y+5z+6=0
já contém r (era de fato um dos dois planos que definem r) e é ortogonal a \mathbf{n}_{\text{pl}}, portanto contém os vetores diretores buscados — ou seja, é candidato natural.

Passo 7

Determinar o termo independente do plano usando o ponto P_0. A equação geral do plano com normal \mathbf{n}_{\text{pl}}=(3,2,5) é
3x+2y+5z+D=0.
Substituindo P_0=\left(\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{3}{2}\right):
3\cdot\frac{1}{2}+2\cdot0+5\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)+D=0.
Calcule:
\frac{3}{2}-\frac{15}{2}+D=0\quad\Rightarrow\quad -6 + D=0\quad\Rightarrow\quad D=6.

Resposta

3x+2y+5z+6=0

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