Determinar a equação do plano que contém a reta
, é paralelo à reta
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação do plano que satisfaz duas condições simultâneas:
- contém a reta
dada como interseção de dois planos:
- é paralelo à reta
dada na forma simétrica
Informações relevantes que o enunciado deu:
- Os dois planos que definem
têm vetores normais e . - A reta
tem coeficiente de direção proporcional a (veja a conversão em passo separado). - Quer-se a equação do plano que contém toda a reta
e que seja paralelo a .
Passo 2
Encontrar o vetor diretor de
.
Razão: a reta dada como interseção de dois planos tem direção perpendicular aos dois vetores normais desses planos; portanto um vetor diretor de é o produto vetorial
.
Razão: a reta dada como interseção de dois planos tem direção perpendicular aos dois vetores normais desses planos; portanto um vetor diretor de
Recordando o produto vetorial: para
e
,
Aplicando com
e
:
Podemos simplificar por
e usar o vetor equivalente
Passo 3
Encontrar o vetor diretor de
.
Converter a forma simétrica para a forma paramétrica: seja o parâmetro comum. Da igualdade
Converter a forma simétrica para a forma paramétrica: seja
obtemos
Portanto um vetor diretor de
é
que é proporcional a
. Para cálculo de direção podemos usar
.
Passo 4
Achar um ponto qualquer da reta
(um ponto para fixar o plano).
Resolvendo o sistema dos dois planos, vamos eliminar variáveis passo a passo.
Resolvendo o sistema dos dois planos, vamos eliminar variáveis passo a passo.
Temos
Multiplicando (2) por
e subtraindo (1) eliminamos
:
Simplificando por
:
Agora substituímos em (2) para achar
:
Calculemos cuidadosamente:
Escolhendo
(escolha conveniente), obtém-se
Logo um ponto de
é
.
Passo 5
Caracterizar o plano procurado: um plano que contém a reta
contém o vetor diretor
e passa pelo ponto
. Além disso o plano é paralelo à reta
, logo o vetor diretor
de
também deve estar contido (ou ser paralelo) ao plano. Assim o plano contém dois vetores não-colineares
e
; deles obtemos um vetor normal ao plano por produto vetorial.
Logo o vetor normal do plano é
Passo 6
Calcular o produto vetorial
com
e
:
Calculando os componentes:
Observação importante (útil na prova):
coincide com o vetor normal do primeiro plano dado. Isso indica que o próprio primeiro plano
já contém
(era de fato um dos dois planos que definem
) e é ortogonal a
, portanto contém os vetores diretores buscados — ou seja, é candidato natural.
Passo 7
Determinar o termo independente do plano usando o ponto
. A equação geral do plano com normal
é
Substituindo
:
Calcule: