Dados o ponto P=(5,2,3) e o plano \pi: 2 x+y+z-3=0, determinar:
(a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a \pi;
(b) a projeção ortogonal de P sobre \pi;
(c) o ponto P^{\prime} simétrico de P em relação a \pi;
(d) a distância de P ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá o ponto \,P=(5,2,3)\, e o plano \,\pi:2x+y+z-3=0\,. Pede quatro coisas:
(a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a \pi;
(b) a projeção ortogonal de P sobre \pi (o pé da perpendicular);
(c) o ponto P' simétrico de P em relação a \pi;
(d) a distância de P ao plano \pi.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes do plano: a=2, b=1, c=1 e termo independente d=-3, pois a equação do plano pode ser escrita como ax+by+cz+d=0.
  • O ponto P tem coordenadas (5,2,3).

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicando devagar): a reta perpendicular a um plano tem direção paralela ao vetor normal do plano. O vetor normal \,\mathbf{n}\, de um plano dado por ax+by+cz+d=0 é \,\mathbf{n}=(a,b,c).
Aplicando isso ao plano dado: \,a=2, \,b=1, \,c=1. Logo o vetor normal é
\mathbf{n}=(2,1,1).
Aqui \mathbf{n} é um vetor perpendicular a \pi; qualquer reta com direção \mathbf{n} será ortogonal ao plano.

Passo 3

(a) Equação paramétrica da reta perpendicular a \pi passando por P.
Definição e notação: uma reta que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem direção dada por um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) possui equações paramétricas
x = x_0 + t v_x,\qquad y = y_0 + t v_y,\qquad z = z_0 + t v_z,\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui usamos P_0=P=(5,2,3) e \mathbf{v}=\mathbf{n}=(2,1,1). Portanto a reta pedida é
x=5+2t,\qquad y=2+t,\qquad z=3+t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Agora precisamos da projeção ortogonal de P sobre o plano e da distância. Vou explicar a fórmula que usamos.
Se o plano é ax+by+cz+d=0 e P=(x_0,y_0,z_0), o valor escalar
S = ax_0+by_0+cz_0+d
é o numerador do calculo da distância orientada (distância com sinal) ao longo do normal. O comprimento do vetor normal é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
O valor da distância orientada (signed distance) é
\delta = \frac{S}{\|\mathbf{n}\|}.
A projeção ortogonal (pé da perpendicular) pode ser obtida subtraindo de P a componente ao longo do vetor normal: uma forma prática é
H = P - \frac{S}{a^2+b^2+c^2}\,(a,b,c).
Aqui \frac{S}{a^2+b^2+c^2} é um escalar que traduz quanto mover ao longo do vetor normal para chegar ao plano. Observe que essa fórmula evita precisar do vetor normal unitário.
A reflexão (ponto simétrico) P' de P em relação ao plano é avançar ainda mais a mesma distância do outro lado: matematicamente
P' = P - 2\frac{S}{a^2+b^2+c^2}\,(a,b,c).
A distância (não orientada) do ponto ao plano é |\delta|.

Passo 5

Aplicando as fórmulas aos números:
Calcular S:
S = a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 2\cdot5 + 1\cdot2 + 1\cdot3 + (-3).
Fazendo as contas passo a passo:
2\cdot5 = 10,\quad 1\cdot2=2,\quad 1\cdot3=3,\quad -3=-3.
Somando:
S = 10+2+3-3 = 12.
Calcular a^2+b^2+c^2:
a^2+b^2+c^2 = 2^2+1^2+1^2 = 4+1+1 = 6.
Portanto o escalar que usamos para projetar é
\frac{S}{a^2+b^2+c^2} = \frac{12}{6} = 2.

Passo 6

(b) Projeção ortogonal de P sobre \pi. Usando H = P - \dfrac{S}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c) e o fator 2 que encontramos:
H = (5,2,3) - 2\,(2,1,1).
Calcule componente a componente:
x_H = 5 - 2\cdot2 = 5-4 = 1,
y_H = 2 - 2\cdot1 = 2-2 = 0,
z_H = 3 - 2\cdot1 = 3-2 = 1.
Logo a projeção é \,H=(1,0,1)\,.

Passo 7

(c) Ponto simétrico P' de P em relação a \pi.
Usando a fórmula da reflexão P' = P - 2\frac{S}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c), com \frac{S}{a^2+b^2+c^2}=2, temos
P' = (5,2,3) - 2\cdot 2\,(2,1,1) = (5,2,3) - 4\,(2,1,1).
Calcule componente a componente:
x_{P'} = 5 - 4\cdot2 = 5-8 = -3,
y_{P'} = 2 - 4\cdot1 = 2-4 = -2,
z_{P'} = 3 - 4\cdot1 = 3-4 = -1.
Portanto P'=(-3,-2,-1).
Observação alternativa curta (útil na prova): também se pode obter P' por P' = 2H - P. Com H=(1,0,1) fica P'=(2,0,2)-(5,2,3)=(-3,-2,-1), mesmo resultado.

Passo 8

(d) Distância de P ao plano \pi.
Primeiro a distância orientada é
\delta = \frac{S}{\|\mathbf{n}\|} = \frac{12}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{12}{\sqrt{6}}.
A distância (sempre não negativa) é |\delta|. Podemos simplificar \dfrac{12}{\sqrt{6}} racionalizando:
\frac{12}{\sqrt{6}} = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}.
Então a distância de P ao plano é \,2\sqrt{6}\, (unidades da coordenada).

Resposta

(a) x=5+2t,\; y=2+t,\; z=3+t,\; t\in\mathbb{R}.
(b) (1,0,1)
(c) (-3,-2,-1)
(d) 2\sqrt{6}

Exercícios relacionados