Dados o ponto
e o plano
, determinar:
(a) a equação paramétrica da reta que passa por
e é perpendicular a
;
(b) a projeção ortogonal de
sobre
;
(c) o ponto
simétrico de
em relação a
;
(d) a distância de
ao plano
.
(a) a equação paramétrica da reta que passa por
(b) a projeção ortogonal de
(c) o ponto
(d) a distância de
Passo 1
O enunciado dá o ponto
e o plano
. Pede quatro coisas:
(a) a equação paramétrica da reta que passa por e é perpendicular a
;
(b) a projeção ortogonal de sobre
(o pé da perpendicular);
(c) o ponto simétrico de
em relação a
;
(d) a distância de ao plano
.
(a) a equação paramétrica da reta que passa por
(b) a projeção ortogonal de
(c) o ponto
(d) a distância de
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes do plano:
, , e termo independente , pois a equação do plano pode ser escrita como . - O ponto
tem coordenadas .
Passo 2
Primeiro conceito importante (explicando devagar): a reta perpendicular a um plano tem direção paralela ao vetor normal do plano. O vetor normal
de um plano dado por
é
.
Aplicando isso ao plano dado:
,
,
. Logo o vetor normal é
Aqui
é um vetor perpendicular a
; qualquer reta com direção
será ortogonal ao plano.
Passo 3
(a) Equação paramétrica da reta perpendicular a
passando por
.
Definição e notação: uma reta que passa por um ponto
e tem direção dada por um vetor
possui equações paramétricas
Aqui usamos
e
. Portanto a reta pedida é
Passo 4
Agora precisamos da projeção ortogonal de
sobre o plano e da distância. Vou explicar a fórmula que usamos.
Se o plano é
e
, o valor escalar
é o numerador do calculo da distância orientada (distância com sinal) ao longo do normal. O comprimento do vetor normal é
O valor da distância orientada (signed distance) é
A projeção ortogonal (pé da perpendicular) pode ser obtida subtraindo de
a componente ao longo do vetor normal: uma forma prática é
Aqui
é um escalar que traduz quanto mover ao longo do vetor normal para chegar ao plano. Observe que essa fórmula evita precisar do vetor normal unitário.
A reflexão (ponto simétrico)
de
em relação ao plano é avançar ainda mais a mesma distância do outro lado: matematicamente
A distância (não orientada) do ponto ao plano é
.
Passo 5
Aplicando as fórmulas aos números:
Calcular
:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Calcular
:
Portanto o escalar que usamos para projetar é
Passo 6
(b) Projeção ortogonal de
sobre
. Usando
e o fator
que encontramos:
Calcule componente a componente:
Logo a projeção é
.
Passo 7
(c) Ponto simétrico
de
em relação a
.
Usando a fórmula da reflexão
, com
, temos
Calcule componente a componente:
Portanto
.
Observação alternativa curta (útil na prova): também se pode obter
por
. Com
fica
, mesmo resultado.
Passo 8
(d) Distância de
ao plano
.
Primeiro a distância orientada é
A distância (sempre não negativa) é
. Podemos simplificar
racionalizando:
Então a distância de
ao plano é
(unidades da coordenada).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)