(a) Mostre que a distância entre um ponto S e uma reta passando por P paralela a v é
d=\frac{\|\overrightarrow{P S} \times v\|}{\|v\|} .
(b) Encontre a distância do ponto S=(1,1,5) à reta r:\left\{\begin{array}{rl}x=1+t \\\ y=3-t \\\ z=2 t\end{array}, t \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
  • (a) Mostrar que a distância entre um ponto S\) e uma reta que passa por \(P\) com direção \(v\) é \[d=\frac{\|\overrightarrow{P S} \times v\|}{\|v\|}.
  • (b) Calcular essa distância quando S=(1,1,5) e a reta r é dada por
r:\begin{cases}x=1+t\\[4pt] y=3-t\\[4pt] z=2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.
Informações fornecidas que vou usar:
  • Um ponto qualquer P\] que esteja na reta (pode escolher um ponto particular da reta). - O vetor diretor da reta é \(v.
    - O vetor que liga P a S é \overrightarrow{P S}.
    - A operação \times é o produto vetorial (cross product) e \|\cdot\| é a norma (comprimento) de um vetor.]

Passo 2

Vamos entender geometricamente o que significa a distância de um ponto S até uma reta com ponto P e direção v.
  • Defina o vetor
u:=\overrightarrow{P S}.
Esse vetor vai de P até S.
  • Imagine o paralelogramo formado pelos vetores u e v como lados adjacentes. A área desse paralelogramo vale, por definição do produto vetorial,
\text{área do paralelogramo}=\|u\times v\|.á
Explico: o produto vetorial u\times v é um vetor cuja magnitude é igual à área do paralelogramo construído sobre u e v, e cuja direção é perpendicular ao plano contendo u e v.

Passo 3

Agora relacione essa área com a distância perpendicular d do ponto S à reta.
  • Se tomarmos v como base do paralelogramo, o comprimento da base é \|v\|.
  • A altura relativa a essa base é precisamente a distância d do ponto S à reta (é a componente de u perpendicular a v).
  • Assim a área do paralelogramo também pode ser expressa como
\text{área do paralelogramo}=\|v\|\cdot d.á

Passo 4

Igualando as duas expressões para a área do paralelogramo obtém-se
\|u\times v\|=\|v\|\cdot d.
Isolando d vem a fórmula desejada:
d=\frac{\|u\times v\|}{\|v\|}.
Como u=\overrightarrow{P S}, obtemos exatamente
d=\frac{\|\overrightarrow{P S}\times v\|}{\|v\|},
que é o que se pedia em (a). (Comentário amistoso: essa dedução usa apenas a interpretação geométrica do módulo do produto vetorial como área — é uma maneira elegante e rápida.)

Passo 5

Agora aplico a fórmula ao caso concreto da parte (b).
  • Primeiro extraio um ponto P da reta e o vetor diretor v. Tomando t=0 na parametrização da reta, um ponto na reta é
P=(1,3,0).
  • O vetor diretor v vem dos coeficientes de t nas equações paramétricas:
v=(1,-1,2).
  • O ponto dado é S=(1,1,5). Então o vetor \overrightarrow{P S} é
\overrightarrow{P S}=S-P=(1-1,\;1-3,\;5-0)=(0,-2,5).

Passo 6

Calcule o produto vetorial \overrightarrow{P S}\times v.
Usando a determinante com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\overrightarrow{P S}\times v=\det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & -2 & 5\\[4pt] 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Compute componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}: (-2)\cdot 2 - 5\cdot(-1)= -4 +5 =1.
  • Componente \mathbf{j}: 0\cdot 2 - 5\cdot 1 = 0 -5 = -5. Lembre que no desenvolvimento da determinante esse termo aparece com sinal negativo, então fica -(-5)=+5.
  • Componente \mathbf{k}: 0\cdot(-1) - (-2)\cdot 1 = 0 +2 =2.
Portanto
\overrightarrow{P S}\times v=(1,5,2).]

Passo 7

Calcule as normas necessárias.
  • Norma do produto vetorial:
\|\overrightarrow{P S}\times v\|=\sqrt{1^{2}+5^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+25+4}=\sqrt{30}.
  • Norma do vetor diretor:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.

Passo 8

Use a fórmula da parte (a) para obter a distância:
d=\frac{\|\overrightarrow{P S}\times v\|}{\|v\|}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{30}{6}}=\sqrt{5}.

Resposta

(a) \displaystyle d=\frac{\|\overrightarrow{P S}\times v\|}{\|v\|}.
(b) \displaystyle d=\sqrt{5}.

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