Um ponto qualquer P\] que esteja na reta (pode escolher um ponto particular da reta).
- O vetor diretor da reta é \(v.
- O vetor que liga P a S é \overrightarrow{P S}.
- A operação \times é o produto vetorial (cross product) e \|\cdot\| é a norma (comprimento) de um vetor.]
Passo 2
Vamos entender geometricamente o que significa a distância de um ponto S até uma reta com ponto P e direção v.
Defina o vetor
u:=\overrightarrow{P S}.
Esse vetor vai de P até S.
Imagine o paralelogramo formado pelos vetores u e v como lados adjacentes. A área desse paralelogramo vale, por definição do produto vetorial,
\text{área do paralelogramo}=\|u\times v\|.á
Explico: o produto vetorial u\times v é um vetor cuja magnitude é igual à área do paralelogramo construído sobre u e v, e cuja direção é perpendicular ao plano contendo u e v.
Passo 3
Agora relacione essa área com a distância perpendicular d do ponto S à reta.
Se tomarmos v como base do paralelogramo, o comprimento da base é \|v\|.
A altura relativa a essa base é precisamente a distância d do ponto S à reta (é a componente de u perpendicular a v).
Assim a área do paralelogramo também pode ser expressa como
\text{área do paralelogramo}=\|v\|\cdot d.á
Passo 4
Igualando as duas expressões para a área do paralelogramo obtém-se
\|u\times v\|=\|v\|\cdot d.
Isolando d vem a fórmula desejada:
d=\frac{\|u\times v\|}{\|v\|}.
Como u=\overrightarrow{P S}, obtemos exatamente
d=\frac{\|\overrightarrow{P S}\times v\|}{\|v\|},
que é o que se pedia em (a). (Comentário amistoso: essa dedução usa apenas a interpretação geométrica do módulo do produto vetorial como área — é uma maneira elegante e rápida.)
Passo 5
Agora aplico a fórmula ao caso concreto da parte (b).
Primeiro extraio um ponto P da reta e o vetor diretor v. Tomando t=0 na parametrização da reta, um ponto na reta é
P=(1,3,0).
O vetor diretor v vem dos coeficientes de t nas equações paramétricas:
v=(1,-1,2).
O ponto dado é S=(1,1,5). Então o vetor \overrightarrow{P S} é
Componente \mathbf{j}: 0\cdot 2 - 5\cdot 1 = 0 -5 = -5. Lembre que no desenvolvimento da determinante esse termo aparece com sinal negativo, então fica -(-5)=+5.