Determinar a equação do plano que passa pelo ponto P=(3,2,-1) e que intercepta os eixos do x e do y em segmentos iguais, respectivamente, a 1 e a -3 .

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa por P=(3,2,-1) e tem interceptos com os eixos x e y iguais a a=1 e b=-3. A forma de interceptos de um plano é
\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1,
onde c é o intercepto no eixo z que ainda não conhecemos.

Passo 2

Substituímos a=1, b=-3 e as coordenadas de P na forma de interceptos:
\frac{3}{1} + \frac{2}{-3} + \frac{-1}{c} = 1.

Passo 3

Resolvendo para c:
3 - \frac{2}{3} - \frac{1}{c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{7}{3} - \frac{1}{c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{c} = 1 - \frac{7}{3} = -\frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{c} = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{3}{4}.

Passo 4

A forma de interceptos fica
\frac{x}{1} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{\tfrac{3}{4}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x - \frac{y}{3} + \frac{4z}{3} = 1.
Multiplicando tudo por 3 para obter a forma geral:
3x - y + 4z = 3.

Resposta

A equação do plano é
3x - y + 4z - 3 = 0.

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