Determinar o ponto simétrico de \mathbf{P}=(1,2,-1)
em relação à reta x-1=y=z

Passo 1

O enunciado pede o ponto simétrico de \mathbf{P}=(1,2,-1) em relação à reta
x - 1 = y = z.
O conteúdo envolve geometria analítica espacial: projetar ortogonalmente um ponto em uma reta e usar a fórmula de reflexão P' = 2Q - P, onde Q é a projeção de P na reta.

Passo 2

Parametrizamos a reta usando um parâmetro t. Como y = t, z = t e x-1 = t, temos
x = 1 + t,\quad y = t,\quad z = t.
Dessa forma, um ponto na reta é
A = (1,0,0)
e o vetor diretor é
\mathbf{d} = (1,1,1).

Passo 3

Calculamos a projeção ortogonal de P sobre a reta. Primeiro,
\overrightarrow{AP} = (1-1,\;2-0,\;-1-0) = (0,2,-1).
O parâmetro da projeção é
t_0 = \frac{\mathbf{d}\cdot\overrightarrow{AP}}{\mathbf{d}\cdot\mathbf{d}} = \frac{1\cdot0 + 1\cdot2 + 1\cdot(-1)}{1+1+1} = \frac{1}{3}.
Então o ponto de projeção Q é
Q = A + t_0\,\mathbf{d} = (1,0,0) + \tfrac{1}{3}(1,1,1) = \bigl(\tfrac{4}{3},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 4

Aplicamos a fórmula da reflexão:
P' = 2Q - P.
Substituindo,
P' = 2\bigl(\tfrac{4}{3},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{3}\bigr) - (1,2,-1) = \bigl(\tfrac{8}{3}-1,\;\tfrac{2}{3}-2,\;\tfrac{2}{3}+1\bigr) = \bigl(\tfrac{5}{3},\,-\tfrac{4}{3},\,\tfrac{5}{3}\bigr).

Resposta

P' = \bigl(\tfrac{5}{3},\,-\tfrac{4}{3},\,\tfrac{5}{3}\bigr)

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