Determinar a equação da reta tangente às funções no ponto indicado:
f(x)=\frac{\cos (x)}{x} no ponto C\left(\frac{\pi}{2} ; 0\right)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função
f(x)=\frac{\cos(x)}{x}
no ponto C\bigl(\tfrac{\pi}{2};0\bigr). O conteúdo é derivação de quociente e depois usar a forma ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro confirmamos que C está sobre o gráfico, calculando
f\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\frac{\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{\tfrac{\pi}{2}} =\frac{0}{\tfrac{\pi}{2}}=0,
logo f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, consistente com o ponto dado.

Passo 3

Derivamos f(x)=\dfrac{\cos(x)}{x} usando a regra do quociente, isto é,
f'(x) =\frac{x\cdot(-\sin(x))-\cos(x)\cdot1}{x^2} =\frac{-x\sin(x)-\cos(x)}{x^2}.

Passo 4

Calculamos a inclinação da tangente em x=\tfrac{\pi}{2}:
f'\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{-\frac{\pi}{2}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)}{\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^2} =\frac{-\frac{\pi}{2}\cdot1-0}{\frac{\pi^2}{4}} =-\frac{\pi/2}{\pi^2/4} =-\frac{2}{\pi}.

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação y-y_0=m(x-x_0) com m=-\tfrac{2}{\pi} e \bigl(x_0,y_0\bigr)=\bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr), obtemos
y-0=-\frac{2}{\pi}\Bigl(x-\frac{\pi}{2}\Bigr).
Simplificando,
y=-\frac{2}{\pi}x+1.

Resposta

A reta tangente é
\boxed{y=-\frac{2}{\pi}x+1.}

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