Determinar a equação da reta tangente às funções no ponto indicado:
f(x)=\log _{10}\left(x^{2}+x\right) no ponto B(1 ; 1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\log_{10}\bigl(x^{2}+x\bigr)
e pede a reta tangente no ponto B(1;1). Para isso vamos usar derivada de função composta (regra da cadeia) e, em seguida, a fórmula da reta tangente no ponto, que é a equação ponto-inclinação.

Passo 2

Vamos calcular f'(x). Seja
u(x)=x^{2}+x,
então f(x)=\log_{10}(u(x)). Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{10}u\bigr)=\frac{u'}{u\,\ln 10}.
Aplicando ao nosso caso, u'(x)=2x+1, temos
f'(x)=\frac{2x+1}{(x^{2}+x)\,\ln 10}.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=1:
f'(1)=\frac{2\cdot 1+1}{(1^{2}+1)\,\ln 10} =\frac{3}{2\,\ln 10}.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto \bigl(1,\,f(1)\bigr) é
y - f(1) = f'(1)\,(x-1).
Como o ponto dado é B(1;1), usamos f(1)=1 e f'(1)=\tfrac{3}{2\ln 10}. Logo
y - 1 = \frac{3}{2\,\ln 10}\,(x-1).

Resposta

y - 1 = \frac{3}{2\,\ln 10}\,(x-1).

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