Determinar a equação da reta tangente às funções no ponto indicado: x^{3}+y^{3}=8 x y no ponto E(4 ; 4)
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por
x^{3} + y^{3} = 8\,x\,y
no ponto E(4,4). Para isso, vamos usar derivação implícita para obter \tfrac{dy}{dx} e então escrever a equação da reta a partir do coeficiente angular nesse ponto.
Passo 2
Derivando ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x, temos
No ponto E(4,4) o numerador vale 8\cdot4 - 3\cdot4^{2} = 32 - 48 = -16 e o denominador vale 3\cdot4^{2} - 8\cdot4 = 48 - 32 = 16. Logo, o coeficiente angular é
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(4,4)} = \frac{-16}{16} = -1.
Passo 4
A equação da reta tangente com coeficiente angular m=-1 passando por (4,4) é