Determinar a equação da reta tangente às funções no ponto indicado:
x^{3}+y^{3}=8 x y no ponto E(4 ; 4)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por
x^{3} + y^{3} = 8\,x\,y
no ponto E(4,4). Para isso, vamos usar derivação implícita para obter \tfrac{dy}{dx} e então escrever a equação da reta a partir do coeficiente angular nesse ponto.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(8xy\bigr)
3x^{2} + 3y^{2}\,\frac{dy}{dx} = 8y + 8x\,\frac{dy}{dx}.
Agora agrupamos os termos com \tfrac{dy}{dx} de um lado:
3y^{2}\,\frac{dy}{dx} - 8x\,\frac{dy}{dx} = 8y - 3x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}\,(3y^{2}-8x) = 8y - 3x^{2}.

Passo 3

Isolando \tfrac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{8y - 3x^{2}}{3y^{2} - 8x}.
No ponto E(4,4) o numerador vale 8\cdot4 - 3\cdot4^{2} = 32 - 48 = -16 e o denominador vale 3\cdot4^{2} - 8\cdot4 = 48 - 32 = 16. Logo, o coeficiente angular é
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(4,4)} = \frac{-16}{16} = -1.

Passo 4

A equação da reta tangente com coeficiente angular m=-1 passando por (4,4) é
y - 4 = -1\,(x - 4),
que simplifica para
y = -x + 8.

Resposta

y = -x + 8

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