Os pólos em malha aberta de um sistema com realimentação unitária controlado por um controlador proporcional de ganho
são
e
.
a) Quando o ganho do controlador,
, é 70,8 , a porcentagem de overshoot é
e a frequência não amortecida,
, é
. Projeta um controlador capaz de corrigir o erro em regime permanente deste sistema seja de
sem alterar significativamente a dinâmica do sistema.
b) Qual a vantagem e a desvantagem de se utilizar um controlador PI?
c) Projete um compensador para que este sistema opere com um instante de pico,
, de 0,605 s e porcentagem de overshoot de
.
d) Que se pode dizer erro em regime permanente quando se usa um controlador PD?
a) Quando o ganho do controlador,
b) Qual a vantagem e a desvantagem de se utilizar um controlador PI?
c) Projete um compensador para que este sistema opere com um instante de pico,
d) Que se pode dizer erro em regime permanente quando se usa um controlador PD?
Passo 1
O exercício é de projeto de controladores em sistemas de malha fechada (controle clássico). Temos um sistema cuja planta em malha aberta (com realimentação unitária e um ganho proporcional
) tem polos em
e
. Com
ele dá overshoot de 25 % e frequência natural não amortecida
,rad/s.
O que a questão pede:
a) Projetar um controlador que faça o erro em regime permanente cair para 5 % sem mexer muito na dinâmica atual.
b) Dizer vantagens e desvantagens de um controlador PI.
c) Projetar um compensador para que o sistema tenha tempo de pico ,s e overshoot de 16,3 %.
d) Dizer o que acontece com o erro em regime permanente se usarmos PD.
Para isso vamos usar fórmulas básicas de segunda ordem:
- overshoot ,
- tempo de pico ,
- erro em regime para sistema tipo 0: ,
e conceitos de controlador PI (integra + zero) e PD (derivada + zero).
O que a questão pede:
a) Projetar um controlador que faça o erro em regime permanente cair para 5 % sem mexer muito na dinâmica atual.
b) Dizer vantagens e desvantagens de um controlador PI.
c) Projetar um compensador para que o sistema tenha tempo de pico
d) Dizer o que acontece com o erro em regime permanente se usarmos PD.
Para isso vamos usar fórmulas básicas de segunda ordem:
- overshoot
- tempo de pico
- erro em regime para sistema tipo 0:
e conceitos de controlador PI (integra + zero) e PD (derivada + zero).
Passo 2
(a) Queremos erro de regime de 5 %. Como ele é tipo 0,
. No nosso caso
.
Com ,
e
(25,3 %).
Para ter basta que
Com
Para ter
Mas não queremos alterar demais a dinâmica (overshoot e
). A saída é usar um PI:
Colocamos
bem grande (ex.:
s) para que o zero em
fique muito à esquerda do polo dominante (
), e escolhemos
para manter a mesma banda média.
Assim a ação integradora corrige o erro em regime praticamente a zero (bem abaixo de 5 %) e o zero longe não muda muito overshoot nem .
Assim a ação integradora corrige o erro em regime praticamente a zero (bem abaixo de 5 %) e o zero longe não muda muito overshoot nem
Passo 3
(b) Vantagem do PI:
- Elimina (ou reduz muito) o erro em regime permanente para referências constantes.
- Mantém resposta suave sem muito ruído.
Desvantagem do PI: - Pode aumentar o overshoot e tempo de acomodação.
- Reduz margem de fase (chega a deixar o sistema mais próximo da instabilidade).
- A parte integradora pode gerar acumulação de erro e saturação (wind-up).
Passo 4
© Agora queremos
e
s.
- Da fórmula
obtemos . - Do
temos
,
logo,rad/s. Os polos desejados são
- Usamos um compensador de avanço de fase (lead):
onde escolhemos o máximo de avanço de fase
para corrigir a defasagem faltante, o que dá
. Colocando o pico de avanço em
,rad/s, achamos
- Ajustamos ganho
pela condição de módulo em , dando
Assim o compensador final é
Passo 5
(d) Um controlador PD tem transferência
. Ele não adiciona polo na origem, só um zero. Isso aumenta o amortecimento (reduz overshoot), mas não muda a classe do sistema: continua tipo 0 e, portanto, o erro em regime permanente para referência de degrau permanece igual ao do controlador P puro (não elimina o erro).
Resposta
a) Use um PI com
que derruba o erro em regime a bem abaixo de 5 % sem alterar overshoot nem
.
b) PI elimina o erro em regime; por outro lado, pode aumentar overshoot e reduzir margem de fase.
c) Para s e
, use lead
b) PI elimina o erro em regime; por outro lado, pode aumentar overshoot e reduzir margem de fase.
c) Para
d) Com PD o erro em regime para degrau continua o mesmo de P (não é eliminado), mas o overshoot cai.