Os pólos em malha aberta de um sistema com realimentação unitária controlado por um controlador proporcional de ganho Kp são p1=-1 ; p2=-4 e p3=-6.
a) Quando o ganho do controlador, Kp, é 70,8 , a porcentagem de overshoot é 25 % e a frequência não amortecida, omegan, é 3,37 rad / s. Projeta um controlador capaz de corrigir o erro em regime permanente deste sistema seja de 5 % sem alterar significativamente a dinâmica do sistema.
b) Qual a vantagem e a desvantagem de se utilizar um controlador PI?
c) Projete um compensador para que este sistema opere com um instante de pico, tp, de 0,605 s e porcentagem de overshoot de 16,3 %.
d) Que se pode dizer erro em regime permanente quando se usa um controlador PD?

Passo 1

O exercício é de projeto de controladores em sistemas de malha fechada (controle clássico). Temos um sistema cuja planta em malha aberta (com realimentação unitária e um ganho proporcional ) tem polos em e . Com ele dá overshoot de 25 % e frequência natural não amortecida ,rad/s.
O que a questão pede:
a) Projetar um controlador que faça o erro em regime permanente cair para 5 % sem mexer muito na dinâmica atual.
b) Dizer vantagens e desvantagens de um controlador PI.
c) Projetar um compensador para que o sistema tenha tempo de pico ,s e overshoot de 16,3 %.
d) Dizer o que acontece com o erro em regime permanente se usarmos PD.
Para isso vamos usar fórmulas básicas de segunda ordem:
- overshoot ,
- tempo de pico ,
- erro em regime para sistema tipo 0: ,
e conceitos de controlador PI (integra + zero) e PD (derivada + zero).

Passo 2

(a) Queremos erro de regime de 5 %. Como ele é tipo 0,
1+Krm dc,new=20 Longrightarrow Krm dc,new=19Longrightarrow Kp^rm new=24cdot19=456 . No nosso caso C(s)=Kl(1+1Ti sr) =;K;s+1/Tis, .
Com , e (25,3 %).
Para ter basta que
Mas não queremos alterar demais a dinâmica (overshoot e ). A saída é usar um PI:
Colocamos bem grande (ex.:  s) para que o zero em fique muito à esquerda do polo dominante ( ), e escolhemos para manter a mesma banda média.
Assim a ação integradora corrige o erro em regime praticamente a zero (bem abaixo de 5 %) e o zero longe não muda muito overshoot nem .

Passo 3

(b) Vantagem do PI:
  • Elimina (ou reduz muito) o erro em regime permanente para referências constantes.
  • Mantém resposta suave sem muito ruído.
    Desvantagem do PI:
  • Pode aumentar o overshoot e tempo de acomodação.
  • Reduz margem de fase (chega a deixar o sistema mais próximo da instabilidade).
  • A parte integradora pode gerar acumulação de erro e saturação (wind-up).

Passo 4

© Agora queremos sd=-zetaomeganpm j,omeganraiz1-zeta^2 =-3pm j,5,196 e Crm <=ad(s) =Kc,s+zs+p,  s.
  1. Da fórmula z=omegamraizbetaapprox0,95, p=beta,zapprox38 obtemos Kcapprox0,0361 .
  2. Do Crm <=ad(s) =0,0361;s+0,95s+38 temos
    ,
    logo ,rad/s. Os polos desejados são
  1. Usamos um compensador de avanço de fase (lead):
onde escolhemos o máximo de avanço de fase para corrigir a defasagem faltante, o que dá . Colocando o pico de avanço em ,rad/s, achamos
  1. Ajustamos ganho pela condição de módulo em , dando
Assim o compensador final é

Passo 5

(d) Um controlador PD tem transferência
. Ele não adiciona polo na origem, só um zero. Isso aumenta o amortecimento (reduz overshoot), mas não muda a classe do sistema: continua tipo 0 e, portanto, o erro em regime permanente para referência de degrau permanece igual ao do controlador P puro (não elimina o erro).

Resposta

a) Use um PI com
C(s)=70,8l(1+110,sr),
que derruba o erro em regime a bem abaixo de 5 % sem alterar overshoot nem C(s)=0,0361,s+0,95s+38 .
b) PI elimina o erro em regime; por outro lado, pode aumentar overshoot e reduzir margem de fase.
c) Para  s e , use lead
d) Com PD o erro em regime para degrau continua o mesmo de P (não é eliminado), mas o overshoot cai.

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