Determinar, se existir, os limites abaixo.
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Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é
. - O ponto de aproximação é
, pela direita ( ). - Se substituirmos
diretamente obtemos numerador e denominador , ou seja, a forma é (indeterminada).
Passo 2
O que significa ter forma
e o que faremos: quando uma expressão dá
ao substituir o ponto, não podemos concluir o valor do limite só com essa substituição — é uma indeterminação que pede manipulação algébrica para simplificar a expressão. Um truque muito útil quando aparece
é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
. Isso elimina a raiz do denominador através da identidade de diferença de quadrados.
Passo 3
Aplicando o conjugado: multiplicamos por
. Escrevemos
Usando
, obtemos
Passo 4
Cancelamento e validade: para
podemos cancelar o fator
, ficando
Como o limite é tomado para
tendendo a
mas não necessariamente igual a
, essa simplificação é válida na vizinhança de
(exceto no próprio
). Portanto o limite da expressão original é o mesmo que o limite de
quando
.
Passo 5
Avaliação do limite simplificado: agora basta substituir
na função simplificada, que é contínua em
:
Passo 6
Uma observação pedagógica (generalização rápida): de forma geral,
No nosso caso
, e isso dá
, o mesmo resultado — é bom decorar essa técnica porque aparece frequentemente em provas.