Determinar, se existir, os limites abaixo.
(13) \lim _{x \rightarrow 16^{+}} \frac{x-16}{\sqrt{x}-4}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 16^{+}} \frac{x-16}{\sqrt{x}-4}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é \dfrac{x-16}{\sqrt{x}-4}.
  • O ponto de aproximação é x=16, pela direita ( x\to16^{+}).
  • Se substituirmos x=16 diretamente obtemos numerador 16-16=0 e denominador \sqrt{16}-4=0, ou seja, a forma é 0/0 (indeterminada).

Passo 2

O que significa ter forma 0/0 e o que faremos: quando uma expressão dá 0/0 ao substituir o ponto, não podemos concluir o valor do limite só com essa substituição — é uma indeterminação que pede manipulação algébrica para simplificar a expressão. Um truque muito útil quando aparece \sqrt{x}-4 é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x}+4. Isso elimina a raiz do denominador através da identidade de diferença de quadrados.

Passo 3

Aplicando o conjugado: multiplicamos por 1=\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+4}. Escrevemos
\frac{x-16}{\sqrt{x}-4} = \frac{x-16}{\sqrt{x}-4}\cdot\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+4} = \frac{(x-16)(\sqrt{x}+4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}.
Usando (\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)=x-16, obtemos
\frac{(x-16)(\sqrt{x}+4)}{x-16}.

Passo 4

Cancelamento e validade: para x\neq 16 podemos cancelar o fator x-16, ficando
\frac{(x-16)(\sqrt{x}+4)}{x-16}=\sqrt{x}+4\qquad\text{(para }x\neq16\text{)}.
Como o limite é tomado para x tendendo a 16 mas não necessariamente igual a 16, essa simplificação é válida na vizinhança de 16 (exceto no próprio x=16). Portanto o limite da expressão original é o mesmo que o limite de \sqrt{x}+4 quando x\to16^{+}.

Passo 5

Avaliação do limite simplificado: agora basta substituir x\to16 na função simplificada, que é contínua em x=16:
\lim_{x\to16^{+}}(\sqrt{x}+4)=\sqrt{16}+4=4+4=8.

Passo 6

Uma observação pedagógica (generalização rápida): de forma geral,
\lim_{x\to a}\frac{x-a}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}= \lim_{x\to a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})=2\sqrt{a}.
No nosso caso a=16, e isso dá 2\cdot4=8, o mesmo resultado — é bom decorar essa técnica porque aparece frequentemente em provas.

Resposta

8

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