Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, se existir, o limite
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
- A função considerada é
. - O símbolo
denota raiz quarta principal (uma raiz de índice par). - O que nos é pedido é o limite pela esquerda em
, ou seja, considerar valores de tais que e se aproxima de .
Passo 2
Entender onde a expressão está definida (domínio) é crucial antes de falar em limites. Como há uma raiz de índice par, o radicando deve ser não negativo:
Vamos resolver essa desigualdade. Fatorando:
As raízes são
e
. A parábola
é positiva fora do intervalo
e negativa dentro. Portanto o conjunto de soluções é
Ou seja, a expressão
(e, portanto,
) está definida apenas para
ou
.
Passo 3
Relembrando conceitualmente: para que o limite pela esquerda
exista (no sentido real), é necessário que haja valores de
com
arbitrariamente próximos de
onde
esteja definido. Em termos práticos, precisa existir um intervalo do tipo
(com
) em que
esteja definido em pontos diferentes de
, para poder aproximar
por valores à esquerda.
Vamos verificar se isso ocorre aqui. Pelo domínio encontrado no Passo 2, os pontos à esquerda de
onde
está definido são aqueles com
. O maior desses (mais próximo de
) é
. A distância de
até
é
, portanto NÃO existem pontos definidos de
no intervalo
. Em particular, não existe nenhum intervalo
com
em que
esteja definido em pontos distintos de
.
Passo 4
Conclusão lógica a partir do Passo 3: não há maneira de aproximar
por valores menores que
permanecendo dentro do domínio da função (ou seja, não existe uma sequência de pontos
com
tal que
esteja definida). Pelo conceito de limite lateral em
, isso impede a existência do limite pela esquerda. Portanto o limite pedido não existe como limite real.
Passo 5
Só para esclarecer o contraste (não solicitado, mas pedagogicamente útil): se considerarmos o limite pela direita, há pontos
arbitrariamente próximos de
no domínio, e pode-se calcular
porque para
pequeno,
é pequeno e positivo, e o numerador tende a
mais rápido que o denominador tende a
. Isso mostra que só a direita o limite existe (e vale
), mas à esquerda a função simplesmente não está definida próxima de
.
Resposta
O limite não existe.