Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{\sqrt[4]{x^{2}-16}}{x+4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, o limite
\lim_{x\to 4^{-}} \frac{\sqrt[4]{x^{2}-16}}{x+4}.
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x^{2}-16}}{x+4}.
  • O símbolo \sqrt[4]{\cdot} denota raiz quarta principal (uma raiz de índice par).
  • O que nos é pedido é o limite pela esquerda em x=4, ou seja, considerar valores de x tais que x<4 e x se aproxima de 4.

Passo 2

Entender onde a expressão está definida (domínio) é crucial antes de falar em limites. Como há uma raiz de índice par, o radicando deve ser não negativo:
x^{2}-16 \ge 0.
Vamos resolver essa desigualdade. Fatorando:
x^{2}-16=(x-4)(x+4).
As raízes são x=4 e x=-4. A parábola x^{2}-16 é positiva fora do intervalo [-4,4] e negativa dentro. Portanto o conjunto de soluções é
\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}-16\ge 0\} = (-\infty,-4]\;\cup\;[4,\infty).
Ou seja, a expressão \sqrt[4]{x^{2}-16} (e, portanto, f(x)) está definida apenas para x\le -4 ou x\ge 4.

Passo 3

Relembrando conceitualmente: para que o limite pela esquerda \lim_{x\to 4^{-}} f(x) exista (no sentido real), é necessário que haja valores de x com x<4 arbitrariamente próximos de 4 onde f(x) esteja definido. Em termos práticos, precisa existir um intervalo do tipo (4-\delta,4) (com \delta>0) em que f esteja definido em pontos diferentes de 4, para poder aproximar 4 por valores à esquerda.
Vamos verificar se isso ocorre aqui. Pelo domínio encontrado no Passo 2, os pontos à esquerda de 4 onde f está definido são aqueles com x\le -4. O maior desses (mais próximo de 4) é x=-4. A distância de -4 até 4 é 8, portanto NÃO existem pontos definidos de f no intervalo (4-8,4)=( -4,4). Em particular, não existe nenhum intervalo (4-\delta,4) com \delta>0 em que f esteja definido em pontos distintos de 4.

Passo 4

Conclusão lógica a partir do Passo 3: não há maneira de aproximar 4 por valores menores que 4 permanecendo dentro do domínio da função (ou seja, não existe uma sequência de pontos x_n<4 com x_n\to 4 tal que f(x_n) esteja definida). Pelo conceito de limite lateral em \mathbb{R}, isso impede a existência do limite pela esquerda. Portanto o limite pedido não existe como limite real.

Passo 5

Só para esclarecer o contraste (não solicitado, mas pedagogicamente útil): se considerarmos o limite pela direita, há pontos x>4 arbitrariamente próximos de 4 no domínio, e pode-se calcular
\lim_{x\to 4^{+}} \frac{\sqrt[4]{x^{2}-16}}{x+4}=0,
porque para x>4 pequeno, x^{2}-16=(x-4)(x+4) é pequeno e positivo, e o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador tende a 8. Isso mostra que só a direita o limite existe (e vale 0), mas à esquerda a função simplesmente não está definida próxima de 4.

Resposta

O limite não existe.

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