Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 7^{-}} \sqrt{7-x}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral esquerdo
\lim_{x\to 7^-}\sqrt{7-x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x)=\sqrt{7-x}.
  • A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, isto é 7-x\ge 0, portanto a função está definida para x\le 7.
  • A pergunta específica é o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 7 por valores menores (pela esquerda).

Passo 2

Vamos entender qualitativamente o que ocorre perto de x=7. Se x<7 então 7-x>0. Ao aproximarmos x de 7 pela esquerda, a quantidade 7-x tende a 0 por valores positivos (escrevemos 7-x\to 0^+). A raiz quadrada é uma função crescente que envia números pequenos e positivos para números pequenos e positivos, então faz sentido que \sqrt{7-x} tenda a 0. Para deixar isso cristalino, faça a substituição
t=7-x.
Quando x\to 7^- temos t\to 0^+ e a expressão fica \sqrt{t}. Assim o problema reduz-se a estudar \lim_{t\to 0^+}\sqrt{t}.

Passo 3

Fazer uma justificativa rigorosa (vareta epsilon–delta, fácil aqui). Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<7-x<\delta (ou seja 0<x<7 e |x-7|<\delta pela esquerda), então |\sqrt{7-x}-0|<\varepsilon.
Escolha \delta=\varepsilon^2. Veja por que isso funciona: se 0<7-x<\delta=\varepsilon^2 então
0<\sqrt{7-x}<\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon,
portanto |\sqrt{7-x}-0|=\sqrt{7-x}<\varepsilon. Isso prova formalmente que
\lim_{x\to 7^-}\sqrt{7-x}=0.

Passo 4

Interpretação prática e verificação numérica rápida (intuição):
  • Se x=6{,}9 então 7-x=0{,}1 e \sqrt{0{,}1}\approx 0{,}316.
  • Se x=6{,}99 então 7-x=0{,}01 e \sqrt{0{,}01}=0{,}1.
  • Se x=6{,}999 então 7-x=0{,}001 e \sqrt{0{,}001}\approx 0{,}0316.
    Os valores vão ficando cada vez mais próximos de 0 conforme x se aproxima de 7 pela esquerda — isso confirma a conclusão anterior de forma concreta.

Passo 5

Resumo amigável: porque 7-x tende a 0^+ quando x\to7^- e a função raiz é contínua para argumentos não negativos, a expressão \sqrt{7-x} tende a \sqrt{0}=0. Força aí — é um limite simples e direto!

Resposta

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