Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o limite lateral esquerdo
Informações dadas e observações imediatas:
- A função considerada é
. - A raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, isto é
, portanto a função está definida para . - A pergunta específica é o que acontece com
quando se aproxima de por valores menores (pela esquerda).
Passo 2
Vamos entender qualitativamente o que ocorre perto de
. Se
então
. Ao aproximarmos
de
pela esquerda, a quantidade
tende a
por valores positivos (escrevemos
). A raiz quadrada é uma função crescente que envia números pequenos e positivos para números pequenos e positivos, então faz sentido que
tenda a
. Para deixar isso cristalino, faça a substituição
Quando
temos
e a expressão fica
. Assim o problema reduz-se a estudar
.
Passo 3
Fazer uma justificativa rigorosa (vareta epsilon–delta, fácil aqui). Queremos mostrar que para todo
existe
tal que, se
(ou seja
e
pela esquerda), então
.
Escolha
. Veja por que isso funciona: se
então
portanto
. Isso prova formalmente que
Passo 4
Interpretação prática e verificação numérica rápida (intuição):
- Se
então e . - Se
então e . - Se
então e .
Os valores vão ficando cada vez mais próximos deconforme se aproxima de pela esquerda — isso confirma a conclusão anterior de forma concreta.
Passo 5
Resumo amigável: porque
tende a
quando
e a função raiz é contínua para argumentos não negativos, a expressão
tende a
. Força aí — é um limite simples e direto!
Resposta
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