Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 10^{-}} \frac{x+10}{\sqrt{(x+10)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 10^-}\frac{x+10}{\sqrt{(x+10)^2}}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre x+10 e a raiz quadrada do quadrado de x+10. O limite é pela esquerda de x=10 (ou seja, x se aproxima de 10 com valores menores que 10).

Passo 2

Vamos usar uma identidade importante sobre raiz e quadrado. Para qualquer número real a\) vale \[\sqrt{a^2}=|a|,
onde |a| é o valor absoluto de a. Explicando o valor absoluto de forma bem direta:
|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
A razão é que a raiz quadrada principal sempre dá um resultado não negativo, então ao tirar a raiz de a^2\] obtemos a distância de \(a até zero, isto é |a|.]

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, com a=x+10, temos
\sqrt{(x+10)^2}=|x+10|.
Portanto a expressão se simplifica para
\frac{x+10}{\sqrt{(x+10)^2}}=\frac{x+10}{|x+10|}.
Nota: a expressão só seria indefinida se x+10=0, isto é em x=-10, que está longe de x=10. Logo não há problema de divisão por zero na vizinhança de x=10.

Passo 4

Agora analisamos o sinal de x+10 quando x se aproxima de 10 pela esquerda. Se x está próximo de 10, por exemplo em qualquer x com 9<x<10, então
x+10>9+10=19>0.
Logo, para todos os x suficientemente próximos de 10 (tanto pela esquerda quanto pela direita) vale x+10>0. Pelo caso do valor absoluto, quando x+10>0 temos |x+10|=x+10.

Passo 5

Substituindo |x+10|=x+10 na expressão, obtemos, para x perto de 10,
\frac{x+10}{|x+10|}=\frac{x+10}{x+10}=1.
Como a função é igual a 1 em toda uma vizinhança (à esquerda) de x=10, o limite lateral pela esquerda é 1.

Resposta

1

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