Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite lateral
Informações dadas: a expressão é a razão entre
e a raiz quadrada do quadrado de
. O limite é pela esquerda de
(ou seja,
se aproxima de
com valores menores que
).
Passo 2
Vamos usar uma identidade importante sobre raiz e quadrado. Para qualquer número real
onde
é o valor absoluto de
. Explicando o valor absoluto de forma bem direta:
A razão é que a raiz quadrada principal sempre dá um resultado não negativo, então ao tirar a raiz de
até zero, isto é
.]
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, com
, temos
Portanto a expressão se simplifica para
Nota: a expressão só seria indefinida se
, isto é em
, que está longe de
. Logo não há problema de divisão por zero na vizinhança de
.
Passo 4
Agora analisamos o sinal de
quando
se aproxima de
pela esquerda. Se
está próximo de
, por exemplo em qualquer
com
, então
Logo, para todos os
suficientemente próximos de
(tanto pela esquerda quanto pela direita) vale
. Pelo caso do valor absoluto, quando
temos
.
Passo 5
Substituindo
na expressão, obtemos, para
perto de
,
Como a função é igual a
em toda uma vizinhança (à esquerda) de
, o limite lateral pela esquerda é
.