Determinar, se existir, os limites abaixo. \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\ln x}
Passo 1
Enunciado e o que se pede. Está dado o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{\ln x}
O que se pede: determinar o valor desse limite, se existir. Informações relevantes que já estão no enunciado:
A função considerada é x\mapsto \dfrac{1}{\ln x}.
A aproximação é por valores de x positivos que tendem a 0 (isto é, x\to 0^{+}).
Passo 2
Entender o comportamento de \ln x quando x\to 0^{+}. Lembrando o que é \ln x:
A função \ln x (logaritmo natural) está definida para x>0.
Para valores de x pequenos e positivos (por exemplo x=0{,}1,\;0{,}01,\;0{,}000001), o valor de \ln x é negativo e com módulo crescendo quando x se aproxima de 0. Em notação:
\lim_{x\to 0^{+}} \ln x = -\infty.
Explicação curta e intuitiva: como \ln x = -\ln\!\big(\tfrac{1}{x}\big) e quando x\to0^{+} tem \tfrac{1}{x}\to +\infty então \ln\!\big(\tfrac{1}{x}\big)\to +\infty, logo \ln x\to -\infty.
Passo 3
Tradução desse comportamento para a função recíproca \dfrac{1}{\ln x}. Resultado padrão usado: se uma função g(x) tende a \pm\infty quando x tende a algum ponto, então o recíproco 1/g(x) tende a 0 (com sinal dependendo de g). Aqui temos g(x)=\ln x e g(x)\to -\infty, portanto espera-se que
\frac{1}{\ln x}\to 0
quando x\to 0^{+}, e mais precisamente que tenda a 0 pelo lado negativo (porque \ln x é negativo).
Passo 4
Justificativa um pouco mais formal (sem teorema pesado): colocar y=\ln x. Quando x\to 0^{+} temos y\to -\infty. Então
\frac{1}{\ln x}=\frac{1}{y},
e é claro que \lim_{y\to -\infty}\dfrac{1}{y}=0. Assim \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{\ln x}=0. O sinal pode ser indicado: como y é negativo para x próximo de 0^{+}, \dfrac{1}{y} é negativo e aproxima-se de 0 pela esquerda.
Passo 5
Argumento via desigualdades para ver rapidez de convergência (opcional, mas útil para prova/exame). Dado \varepsilon>0, escolher M=\dfrac{1}{\varepsilon}. Como \ln x\to -\infty, existe \delta>0 tal que, para 0<x<\delta, vale \ln x < -M (isto é, |\ln x|>M). Então para 0<x<\delta
Isso mostra que \dfrac{1}{\ln x}\to 0 quando x\to 0^{+}. Além disso, como \ln x<0 nesse intervalo, o valor é negativo, confirmando que tende a 0 por valores negativos.
Passo 6
Intuição numérica rápida para ficar tranquilo: exemplos com x pequenos