Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:\n
- Pede-se calcular o limite
.\n - Informação útil: a função exponencial
está definida para todo e toma valores positivos.
Passo 2
Relembrando uma propriedade básica da exponencial (explicação didática):\n
- A função
é estritamente crescente e cresce sem limite superior quando . Em palavras simples: conforme fica muito grande, também cresce sem parar, passando por qualquer número positivo que se queira. Isto é expresso por .\n - Intuição rápida: a exponencial multiplica por uma constante média quando
aumenta; por isso ela cresce muito mais rápido que funções polinomiais. Não é preciso provar isso aqui, basta aceitar que torna-se arbitrariamente grande quando cresce.
Passo 3
Reescrever a função para ver o comportamento mais claramente:\n
- Observa-se que
.\n - Se o denominador
tende a quando , então o quociente deve ficar cada vez menor, aproximando-se de . Essa é a ideia central: recíproco de um número que vai a infinito tende a zero.
Passo 4
Demonstração rigorosa (prova
-
) de que
se aproxima de
:\n
- Tome um
arbitrário. Queremos mostrar que existe tal que, para todo , vale .\n - Caso 1: se
, então basta tomar , porque para todo temos .\n - Caso 2: se
, então e é bem definido e positivo. Faça . Para qualquer temos , o que implica, aplicando a função exponencial (que é crescente), . Tomando recíproco (positivos), obtém-se .\n - Assim, em ambos os casos encontramos um
que garante sempre que . Isso é exatamente a definição de limite: (a conclusão formal aparece na seção de resposta).
Passo 5
Intuição numérica e verificação rápida:\n
- Para valores explícitos:
, , . Vê-se que conforme cresce esses números ficam muito próximos de zero.\n - Portanto a função decai rapidamente para
quando aumenta.
Resposta
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