Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:\n
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{-x}.\n
  • Informação útil: a função exponencial e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R} e toma valores positivos.

Passo 2

Relembrando uma propriedade básica da exponencial (explicação didática):\n
  • A função x\mapsto e^{x} é estritamente crescente e cresce sem limite superior quando x\to+\infty. Em palavras simples: conforme x fica muito grande, e^{x} também cresce sem parar, passando por qualquer número positivo que se queira. Isto é expresso por \displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{x} = +\infty.\n
  • Intuição rápida: a exponencial multiplica por uma constante média quando x aumenta; por isso ela cresce muito mais rápido que funções polinomiais. Não é preciso provar isso aqui, basta aceitar que e^{x} torna-se arbitrariamente grande quando x cresce.

Passo 3

Reescrever a função para ver o comportamento mais claramente:\n
  • Observa-se que e^{-x} = \dfrac{1}{e^{x}}.\n
  • Se o denominador e^{x} tende a +\infty quando x\to+\infty, então o quociente \dfrac{1}{e^{x}} deve ficar cada vez menor, aproximando-se de 0. Essa é a ideia central: recíproco de um número que vai a infinito tende a zero.

Passo 4

Demonstração rigorosa (prova \varepsilon- N) de que e^{-x} se aproxima de 0:\n
  • Tome um \varepsilon>0 arbitrário. Queremos mostrar que existe N tal que, para todo x>N, vale e^{-x}<\varepsilon.\n
  • Caso 1: se \varepsilon\ge 1, então basta tomar N=0, porque para todo x\ge 0 temos 0<e^{-x}\le 1\le\varepsilon.\n
  • Caso 2: se 0<\varepsilon<1, então 1/\varepsilon>1 e \ln(1/\varepsilon) é bem definido e positivo. Faça N=\ln\!\left(\dfrac{1}{\varepsilon}\right). Para qualquer x>N temos x>\ln(1/\varepsilon), o que implica, aplicando a função exponencial (que é crescente), e^{x} > e^{\ln(1/\varepsilon)} = 1/\varepsilon. Tomando recíproco (positivos), obtém-se e^{-x} < \varepsilon.\n
  • Assim, em ambos os casos encontramos um N que garante e^{-x}<\varepsilon sempre que x>N. Isso é exatamente a definição de limite: \lim_{x\to +\infty} e^{-x} = 0 (a conclusão formal aparece na seção de resposta).

Passo 5

Intuição numérica e verificação rápida:\n
  • Para valores explícitos: e^{-1}\approx 0,3679, e^{-2}\approx 0,1353, e^{-5}\approx 0,0067. Vê-se que conforme x cresce esses números ficam muito próximos de zero.\n
  • Portanto a função decai rapidamente para 0 quando x aumenta.

Resposta

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