Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: determinar o valor do limite
\lim_{x\to-\infty} e^{x}.
Informações relevantes que temos (todas válidas para a função exponencial):
  • A função x\mapsto e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Para todo x, vale e^{x}>0 (a exponencial é sempre positiva).
  • Precisamos entender o comportamento de e^{x} quando x vai para -\infty.

Passo 2

Fazemos uma troca de variável que deixa o problema mais claro. Defina t=-x. Quando x\to-\infty temos t\to+\infty. Reescrevendo a função:
e^{x}=e^{-t}=\frac{1}{e^{t}}.
Portanto
\lim_{x\to-\infty} e^{x}=\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{e^{t}}.

Passo 3

Agora precisamos saber o que acontece com e^{t} quando t\to+\infty. Uma forma clara de ver que e^{t}\to+\infty é usar a série de Taylor da exponencial:
e^{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}.
Todos os termos dessa soma são não negativos quando t\ge 0. Para qualquer inteiro fixo n\ge 1, o termo \dfrac{t^{n}}{n!} tende para +\infty quando t\to+\infty. Como a soma contém esse termo positivo, a soma inteira também tende para +\infty. Logo
\lim_{t\to+\infty} e^{t}=+\infty.

Passo 4

Se \lim_{t\to+\infty} e^{t}=+\infty, então pelo fato de que a função y\mapsto 1/y é contínua para y>0 e transforma grandes valores em valores pequenos, segue que
\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{e^{t}}=0.
Como e^{x}=\dfrac{1}{e^{t}} pela troca t=-x, concluímos que
\lim_{x\to-\infty} e^{x}=0.

Passo 5

Intuição rápida e útil para a prova: a exponencial decresce quando x vai para -\infty e nunca fica negativa, aproximando-se cada vez mais de zero pela direita. Em provas é comum usar a substituição t=-x e a propriedade \lim_{t\to+\infty}e^{t}=+\infty para justificar o resultado de forma direta.

Resposta

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