Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: determinar o valor do limite
Informações relevantes que temos (todas válidas para a função exponencial):
- A função
está definida para todo . - Para todo
, vale (a exponencial é sempre positiva). - Precisamos entender o comportamento de
quando vai para .
Passo 2
Fazemos uma troca de variável que deixa o problema mais claro. Defina
. Quando
temos
. Reescrevendo a função:
Portanto
Passo 3
Agora precisamos saber o que acontece com
quando
. Uma forma clara de ver que
é usar a série de Taylor da exponencial:
Todos os termos dessa soma são não negativos quando
. Para qualquer inteiro fixo
, o termo
tende para
quando
. Como a soma contém esse termo positivo, a soma inteira também tende para
. Logo
Passo 4
Se
, então pelo fato de que a função
é contínua para
e transforma grandes valores em valores pequenos, segue que
Como
pela troca
, concluímos que
Passo 5
Intuição rápida e útil para a prova: a exponencial decresce quando
vai para
e nunca fica negativa, aproximando-se cada vez mais de zero pela direita. Em provas é comum usar a substituição
e a propriedade
para justificar o resultado de forma direta.