Determinar f^{\prime}(p) nos seguintes casos
f(x)=\sqrt{x+6} ; p=3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x+6}
no ponto p=3. O conteúdo principal aqui é a derivada de uma função composta do tipo (x+6)^{1/2}, usando a regra do expoente (potência) e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo
f(x) = (x+6)^{\tfrac12},
aplicamos a regra de potência aliada à cadeia:
f'(x) = \tfrac12 (x+6)^{-\tfrac12}\cdot\frac{d}{dx}(x+6) = \tfrac12 (x+6)^{-\tfrac12}\cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+6}}.

Passo 3

Agora substituímos x=3:
f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3+6}} = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2\cdot3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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