Considere a expressão integral
I=\int_{\sqrt{2}}^{\frac{4}{\sqrt{5}}} \int_{-\sqrt{-3+\frac{3 x^{2}}{2}}}^{\sqrt{-3+\frac{3 x^{2}}{2}}} f(x, y) d y d x+\int_{\frac{4}{\sqrt{5}}}^{2} \int_{-\sqrt{9-\frac{9 x^{2}}{4}}}^{\sqrt{9-\frac{9 x^{2}}{4}}} f(x, y) d y d x,
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{y} como variável independente, a expressão \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) y \in[ □ , □ ].
ii) x \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão \boldsymbol{I} para coordenadas polares, \boldsymbol{I} também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ ,
□ ].

Passo 1

Vou repetir e organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A expressão dada é
I=\int_{\sqrt{2}}^{\frac{4}{\sqrt{5}}}\int_{-\sqrt{-3+\frac{3 x^{2}}{2}}}^{\sqrt{-3+\frac{3 x^{2}}{2}}} f(x,y)\,dy\,dx +\int_{\frac{4}{\sqrt{5}}}^{2}\int_{-\sqrt{9-\frac{9 x^{2}}{4}}}^{\sqrt{9-\frac{9 x^{2}}{4}}} f(x,y)\,dy\,dx.
  • Informações dadas (resumidas):
    • Para x\in\left[\sqrt{2},\frac{4}{\sqrt{5}}\right] temos y variando entre y=\pm\sqrt{-3+\frac{3x^{2}}{2}}.
    • Para x\in\left[\frac{4}{\sqrt{5}},2\right] temos y variando entre y=\pm\sqrt{9-\frac{9x^{2}}{4}}.
    • A região é simétrica em relação ao eixo x (os limites em y são \pm simétricos).
  • O enunciado pede:
    (a) Reescrever I como uma única integral dupla tomando y como variável independente; fornecer:
    i) intervalo de y;
    ii) intervalo de x em termos de y.
    (b) Escrever I em coordenadas polares, usando simetria duas vezes; fornecer:
    i) intervalo de \theta;
    ii) intervalo de r (em função de \theta).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Vamos entender a fronteira das duas partes e encontrar o intervalo global de y.
As duas curvas que limitam y são:
y^{2} = -3+\frac{3x^{2}}{2} \qquad\text{e}\qquad y^{2}=9-\frac{9x^{2}}{4}.
Primeiro verifico o ponto em que as duas curvas se encontram (o valor de x onde as integrais trocam): dado no enunciado como x=\frac{4}{\sqrt{5}}. Vou calcular o y correspondente substituindo x=\frac{4}{\sqrt{5}} em qualquer uma das expressões.

Passo 3

Calcular y no ponto de encontro x=\frac{4}{\sqrt{5}}.
Substituindo na primeira expressão:
y^{2} = -3 + \frac{3}{2}\left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)^{2}.
Calculo passo a passo:
\left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)^{2}=\frac{16}{5},
\frac{3}{2}\cdot\frac{16}{5}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5},
y^{2}=-3+\frac{24}{5}=-\frac{15}{5}+\frac{24}{5}=\frac{9}{5}.
Logo
y=\pm\sqrt{\frac{9}{5}}=\pm\frac{3}{\sqrt{5}}.
Portanto o valor máximo (em módulo) de y na região é \frac{3}{\sqrt{5}}. Como a região é simétrica em y, o intervalo global de y é
y\in\left[-\frac{3}{\sqrt{5}},\;\frac{3}{\sqrt{5}}\right].
Isto responde o item (a)(i).

Passo 4

Agora, para cada y fixo em \left[-\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right], vou encontrar o intervalo de x resolvendo as equações dos contornos em função de x.
  1. Da primeira curva (hipérbole escrita na forma dada):
y^{2}=-3+\frac{3x^{2}}{2}
isolo x^{2}:
\frac{3x^{2}}{2}=y^{2}+3
x^{2}=\frac{2\,(y^{2}+3)}{3}
Como estamos considerando x\ge 0 (os limites originais têm x positivos),
x=\sqrt{\frac{2\,(y^{2}+3)}{3}}.
Este é o limite esquerdo da região (menor x) porque, para y=0, dá x=\sqrt{2} (coincide com o limite x=\sqrt{2} dado).
  1. Da segunda curva (elipse):
y^{2}=9-\frac{9x^{2}}{4}
isolo x^{2}:
\frac{9x^{2}}{4}=9-y^{2}
x^{2}=\frac{4(9-y^{2})}{9}
x=\frac{2}{3}\sqrt{9-y^{2}}.
Este é o limite direito da região (maior x), porque em y=0 x=2 (coincide com o limite x=2 dado).
  1. Verificação de consistência: em y=\pm\frac{3}{\sqrt{5}} as duas expressões coincidem — já verificamos isso indiretamente no Passo 3 — portanto para todo y no intervalo encontrado a ordem é
\sqrt{\frac{2\,(y^{2}+3)}{3}}\\ \le\\ \frac{2}{3}\sqrt{9-y^{2}}.
Conclusão para (a)(ii): para y\in\left[-\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right] temos
x\in\left[\sqrt{\frac{2\,(y^{2}+3)}{3}},\;\frac{2}{3}\sqrt{9-y^{2}}\right].

Passo 5

Agora vou passar para coordenadas polares. Lembro das fórmulas de transformação e do motivo:
  • Mudança: \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
  • Jacobiano: dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
    Explico: em coordenadas polares cada ponto é dado por um raio r\ge0 e um ângulo \theta; ao trocar variáveis a área elementar dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Esse r é crucial na integral.
Substituo as equações das curvas em polares para encontrar as expressões de r em função de \theta.

Passo 6

Transformo cada curva para polar.
  1. Primeira curva:
y^{2}=-3+\frac{3x^{2}}{2}
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta,
(r\sin\theta)^{2} = -3 + \frac{3(r\cos\theta)^{2}}{2}.
Isto dá
r^{2}\sin^{2}\theta = -3 + \frac{3r^{2}\cos^{2}\theta}{2}
\frac{3r^{2}\cos^{2}\theta}{2} - r^{2}\sin^{2}\theta = 3
r^{2}\left(\frac{3\cos^{2}\theta}{2} - \sin^{2}\theta\right)=3
r^{2}\left(\frac{3\cos^{2}\theta - 2\sin^{2}\theta}{2}\right)=3
r^{2}=\frac{6}{3\cos^{2}\theta - 2\sin^{2}\theta}.
Portanto a curva interna (menor r) é
r=\sqrt{\frac{6}{3\cos^{2}\theta - 2\sin^{2}\theta}}.
  1. Segunda curva (elipse):
y^{2}=9-\frac{9x^{2}}{4}
Substituindo,
r^{2}\sin^{2}\theta = 9 - \frac{9r^{2}\cos^{2}\theta}{4}
\frac{9r^{2}\cos^{2}\theta}{4} + r^{2}\sin^{2}\theta = 9
r^{2}\left(\frac{9\cos^{2}\theta}{4} + \sin^{2}\theta\right)=9
Para simplificar colocamos em denominador comum:
r^{2}\left(\frac{9\cos^{2}\theta + 4\sin^{2}\theta}{4}\right)=9
r^{2}=\frac{36}{9\cos^{2}\theta + 4\sin^{2}\theta}.
Portanto a curva externa (maior r) é
r=\sqrt{\frac{36}{9\cos^{2}\theta + 4\sin^{2}\theta}}=\frac{6}{\sqrt{9\cos^{2}\theta + 4\sin^{2}\theta}}.

Passo 7

Determino o intervalo de \theta.
Os dois contornos se intersectam nos pontos que já encontramos: x=\frac{4}{\sqrt{5}},\; y=\pm\frac{3}{\sqrt{5}}. Em polares isso corresponde a
\theta=\pm\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)=\pm\arctan\!\left(\frac{3/\sqrt{5}}{4/\sqrt{5}}\right)=\pm\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right).
Além disso a região tem x>0 em toda parte considerada (os limites de x são positivos), então \theta está entre -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2}. Combinando isso com as interseções, o ângulo em que a região existe é exatamente
\theta\in\left[-\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right),\;\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\right].
Dentro desse intervalo de \theta a expressão do r interno é real e menor que a expressão do r externo, conforme os fórmulas do Passo 6.

Passo 8

Portanto, em coordenadas polares, para cada \theta em
\left[-\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right),\;\arctan\!\left(\frac{3}{4}\right)\right]
temos r variando entre a curva dada pela hipérbole transformada (interna) e a elipse transformada (externa):
r\in\left[\sqrt{\frac{6}{3\cos^{2}\theta - 2\sin^{2}\theta}},\;\sqrt{\frac{36}{9\cos^{2}\theta + 4\sin^{2}\theta}}\right].
Isto responde (b)(i) e (b)(ii). Uma observação prática: por simetria em relação ao eixo x podia-se integrar apenas em \theta\in\left[0,\arctan\!\left(\tfrac{3}{4}\right)\right] e multiplicar por 2 (ou mesmo integrar em meia-região e multiplicar por 2 duas vezes se desejado), mas aqui dei os limites para a integral dupla única cobrindo a região completa.

Resposta

(a)(i) y\in\left[-\dfrac{3}{\sqrt{5}},\;\dfrac{3}{\sqrt{5}}\right]
(a)(ii) x\in\left[\sqrt{\dfrac{2\,(y^{2}+3)}{3}},\;\dfrac{2}{3}\sqrt{9-y^{2}}\right]
(b)(i) \theta\in\left[-\arctan\!\left(\dfrac{3}{4}\right),\;\arctan\!\left(\dfrac{3}{4}\right)\right]
(b)(ii) r\in\left[\sqrt{\dfrac{6}{3\cos^{2}\theta - 2\sin^{2}\theta}},\;\sqrt{\dfrac{36}{9\cos^{2}\theta + 4\sin^{2}\theta}}\right]

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