Considere a expressão integral I=\int_{\sqrt{2}}^{\frac{4}{\sqrt{5}}} \int_{-\sqrt{-3+\frac{3 x^{2}}{2}}}^{\sqrt{-3+\frac{3 x^{2}}{2}}} f(x, y) d y d x+\int_{\frac{4}{\sqrt{5}}}^{2} \int_{-\sqrt{9-\frac{9 x^{2}}{4}}}^{\sqrt{9-\frac{9 x^{2}}{4}}} f(x, y) d y d x,
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{y} como variável independente, a expressão \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) y \in[ □ , □ ].
ii) x \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão \boldsymbol{I} para coordenadas polares, \boldsymbol{I} também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ ,
□ ].
Passo 1
Vou repetir e organizar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Para x\in\left[\sqrt{2},\frac{4}{\sqrt{5}}\right] temos y variando entrey=\pm\sqrt{-3+\frac{3x^{2}}{2}}.
Para x\in\left[\frac{4}{\sqrt{5}},2\right] temos y variando entrey=\pm\sqrt{9-\frac{9x^{2}}{4}}.
A região é simétrica em relação ao eixo x (os limites em y são \pm simétricos).
O enunciado pede:
(a) Reescrever I como uma única integral dupla tomando y como variável independente; fornecer:
i) intervalo de y;
ii) intervalo de x em termos de y.
(b) Escrever I em coordenadas polares, usando simetria duas vezes; fornecer:
i) intervalo de \theta;
ii) intervalo de r (em função de \theta).
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Vamos entender a fronteira das duas partes e encontrar o intervalo global de y.
Primeiro verifico o ponto em que as duas curvas se encontram (o valor de x onde as integrais trocam): dado no enunciado como x=\frac{4}{\sqrt{5}}. Vou calcular o y correspondente substituindo x=\frac{4}{\sqrt{5}} em qualquer uma das expressões.
Passo 3
Calcular y no ponto de encontro x=\frac{4}{\sqrt{5}}.
Agora, para cada y fixo em \left[-\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}}\right], vou encontrar o intervalo de x resolvendo as equações dos contornos em função de x.
Da primeira curva (hipérbole escrita na forma dada):
y^{2}=-3+\frac{3x^{2}}{2}
isolo x^{2}:
\frac{3x^{2}}{2}=y^{2}+3
x^{2}=\frac{2\,(y^{2}+3)}{3}
Como estamos considerando x\ge 0 (os limites originais têm x positivos),
x=\sqrt{\frac{2\,(y^{2}+3)}{3}}.
Este é o limite esquerdo da região (menor x) porque, para y=0, dá x=\sqrt{2} (coincide com o limite x=\sqrt{2} dado).
Da segunda curva (elipse):
y^{2}=9-\frac{9x^{2}}{4}
isolo x^{2}:
\frac{9x^{2}}{4}=9-y^{2}
x^{2}=\frac{4(9-y^{2})}{9}
x=\frac{2}{3}\sqrt{9-y^{2}}.
Este é o limite direito da região (maior x), porque em y=0 dá x=2 (coincide com o limite x=2 dado).
Verificação de consistência: em y=\pm\frac{3}{\sqrt{5}} as duas expressões coincidem — já verificamos isso indiretamente no Passo 3 — portanto para todo y no intervalo encontrado a ordem é
Agora vou passar para coordenadas polares. Lembro das fórmulas de transformação e do motivo:
Mudança: \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
Jacobiano: dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explico: em coordenadas polares cada ponto é dado por um raio r\ge0 e um ângulo \theta; ao trocar variáveis a área elementar dx\,dy vira r\,dr\,d\theta. Esse r é crucial na integral.
Substituo as equações das curvas em polares para encontrar as expressões de r em função de \theta.
Além disso a região tem x>0 em toda parte considerada (os limites de x são positivos), então \theta está entre -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2}. Combinando isso com as interseções, o ângulo em que a região existe é exatamente
Isto responde (b)(i) e (b)(ii). Uma observação prática: por simetria em relação ao eixo x podia-se integrar apenas em \theta\in\left[0,\arctan\!\left(\tfrac{3}{4}\right)\right] e multiplicar por 2 (ou mesmo integrar em meia-região e multiplicar por 2 duas vezes se desejado), mas aqui dei os limites para a integral dupla única cobrindo a região completa.