Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.\n
A função dada é .\n
O que nos pedem: determinar a função derivada .\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
\
está bem definida para todo
porque
para todo
.\n
\ Os argumentos dos logaritmos são positivos para todo
:
(já que
), então
e
. Portanto o domínio da função é todo
.\n
Fim da identificação do problema; a resolução começa no próximo passo.
A função dada é
O que nos pedem: determinar a função derivada
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
Fim da identificação do problema; a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Relembrando regras que vamos usar (aula rápida e prática).\n
Regra 1 — derivada do logaritmo composto: se , então
Regra 1 — derivada do logaritmo composto: se
Isto vem da regra da cadeia: derivada de
é
vezes derivada de
.\n
Regra 2 — derivada da raiz quadrada: se , então
Regra 2 — derivada da raiz quadrada: se
Isto também é aplicação direta da regra da cadeia e da potência.\n
Vamos aplicar essas regras passo a passo à nossa função.
Vamos aplicar essas regras passo a passo à nossa função.
Passo 3
Simplificação algébrica prática antes de derivar.\n
Defina . Então a função fica
Defina
Aplicamos a regra do item 1 para derivar cada termo:
e
.\n
Portanto
Portanto
Passo 4
Fatorando e simplificando a expressão para eliminar repetições.\n
Colocando em evidência:
Colocando
Calcule a diferença de frações:
Logo
Passo 5
Reconhecimento de uma simplificação crucial:
.\n
Lembrando que , temos
Lembrando que
Substituindo em
obtemos
Passo 6
Calcular
usando a regra da raiz (Regra 2 do Passo 2).\n
Como , pela regra da cadeia
Como
Substituindo
em
temos
Passo 7
Simplificação final (cortes que aliviam a conta).\n
Na expressão
Na expressão
os fatores
se cancelam e
também se cancela, sobrando
Nice — a conta ficou bem limpa no final.