Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(\sqrt{1+e^{x}}-1\right)-\ln \left(\sqrt{1+e^{x}}+1\right.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.\n
A função dada é \displaystyle f(x)=\ln\!\big(\sqrt{1+e^{x}}-1\big)-\ln\!\big(\sqrt{1+e^{x}}+1\big).\n
O que nos pedem: determinar a função derivada f'(x).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
\;1.\ \sqrt{1+e^{x}} está bem definida para todo x porque e^{x}>0 para todo x.\n
\;2.\ Os argumentos dos logaritmos são positivos para todo x: \sqrt{1+e^{x}}>1 (já que e^{x}>0), então \sqrt{1+e^{x}}-1>0 e \sqrt{1+e^{x}}+1>0. Portanto o domínio da função é todo \mathbb{R}.\n
Fim da identificação do problema; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Relembrando regras que vamos usar (aula rápida e prática).\n
Regra 1 — derivada do logaritmo composto: se g(x)=\ln(u(x)), então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto vem da regra da cadeia: derivada de \ln é 1/u vezes derivada de u.\n
Regra 2 — derivada da raiz quadrada: se h(x)=\sqrt{u(x)}=(u(x))^{1/2}, então
h'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
Isto também é aplicação direta da regra da cadeia e da potência.\n
Vamos aplicar essas regras passo a passo à nossa função.

Passo 3

Simplificação algébrica prática antes de derivar.\n
Defina \displaystyle a(x)=\sqrt{1+e^{x}}. Então a função fica
f(x)=\ln\!\big(a(x)-1\big)-\ln\!\big(a(x)+1\big).
Aplicamos a regra do item 1 para derivar cada termo: \big(\ln(a-1)\big)'=\dfrac{a'}{a-1} e \big(\ln(a+1)\big)'=\dfrac{a'}{a+1}.\n
Portanto
f'(x)=\frac{a'(x)}{a(x)-1}-\frac{a'(x)}{a(x)+1}.

Passo 4

Fatorando e simplificando a expressão para eliminar repetições.\n
Colocando a'(x) em evidência:
f'(x)=a'(x)\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}\right).
Calcule a diferença de frações:
\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+1}=\frac{(a+1)-(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{2}{a^{2}-1}.
Logo
f'(x)=a'(x)\cdot\frac{2}{a^{2}-1}.

Passo 5

Reconhecimento de uma simplificação crucial: a^{2}-1=e^{x}.\n
Lembrando que a(x)=\sqrt{1+e^{x}}, temos
a^{2}=1+e^{x}\quad\Rightarrow\quad a^{2}-1=e^{x}.
Substituindo em f'(x) obtemos
f'(x)=a'(x)\cdot\frac{2}{e^{x}}.

Passo 6

Calcular a'(x) usando a regra da raiz (Regra 2 do Passo 2).\n
Como a(x)=\sqrt{1+e^{x}}=(1+e^{x})^{1/2}, pela regra da cadeia
a'(x)=\frac{(1+e^{x})'}{2\sqrt{1+e^{x}}}=\frac{e^{x}}{2\sqrt{1+e^{x}}}.
Substituindo a'(x) em f'(x)=\dfrac{2\,a'(x)}{e^{x}} temos
f'(x)=\frac{2}{e^{x}}\cdot\frac{e^{x}}{2\sqrt{1+e^{x}}}.

Passo 7

Simplificação final (cortes que aliviam a conta).\n
Na expressão
f'(x)=\frac{2}{e^{x}}\cdot\frac{e^{x}}{2\sqrt{1+e^{x}}},
os fatores 2 se cancelam e e^{x} também se cancela, sobrando
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}}.
Nice — a conta ficou bem limpa no final.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{x}}}

Exercícios relacionados