Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[3]{x \sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função derivada de f. A função fornecida é
f(x)=\sqrt[3]{x\sqrt{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão contém uma raiz quadrada \sqrt{x} e uma raiz cúbica \sqrt[3]{\cdot}.
  • É pedido o valor de f'(x) (a derivada de f).
  • Devemos ficar atentos ao domínio da função, pois \sqrt{x} impõe restrições sobre os x permitidos.

Passo 2

Primeiro passo prático: trocar raízes por potências. Isso deixa a manipulação algébrica bem mais fácil. As duas regras básicas usadas aqui são:
  • \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • \sqrt[3]{\,\cdot\,}=(\,\cdot\,)^{1/3}.
Aplicando isso diretamente em f temos:
f(x)=\left(x\sqrt{x}\right)^{1/3}=\left(x\cdot x^{1/2}\right)^{1/3}.

Passo 3

Agora simplificamos o produto dentro do parêntese usando a regra de soma de expoentes quando as bases são iguais:
  • Regra: a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
Aplicando a x\cdot x^{1/2} obtemos
x\cdot x^{1/2}=x^{1 + 1/2}=x^{3/2}.
Então a função fica
f(x)=\left(x^{3/2}\right)^{1/3}.

Passo 4

Agora usamos a regra de potenciação de potência:
  • Regra: (a^m)^n = a^{m\cdot n}.
Aplicando isso temos
f(x)=\left(x^{3/2}\right)^{1/3}=x^{(3/2)\cdot(1/3)}=x^{1/2}.
Ou seja, a expressão original simplifica-se exatamente para a raiz quadrada:
f(x)=x^{1/2}=\sqrt{x}.

Passo 5

Agora vamos derivar f(x)=x^{1/2}. Para isso usamos a regra básica para potências:
  • Regra (regra do expoente/power rule): se g(x)=x^n com n constante, então
g'(x)=n\,x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac{1}{2}. Um exemplo simples para fixar: se g(x)=x^3 então g'(x)=3x^2 (aplicando a mesma regra).

Passo 6

Aplicando a regra do expoente com n=\tfrac{1}{2} obtemos
f'(x)=\frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\,x^{-1/2}.
Agora escrevemos isso numa forma mais familiar (sem expoente negativo) usando x^{-1/2}=\dfrac{1}{x^{1/2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}:
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 7

Precisamos discutir o domínio onde essa derivada vale. Observações sobre domínio:
  • A função original envolve \sqrt{x}, então ela só está definida para x\ge 0.
  • A expressão \dfrac{1}{2\sqrt{x}} exige \sqrt{x}\neq 0, ou seja, x\neq 0. Logo a fórmula \dfrac{1}{2\sqrt{x}} vale apenas para x>0.
Verificação do ponto x=0: f(0)=0. O limite do quociente diferencial ao aproximar 0
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}\xrightarrow[h\to 0^+]{}+\infty,
logo a derivada em x=0 não existe (tende a infinito pela direita). Concluímos que não há derivada em 0.

Passo 8

Resumo final: a derivada simplifica-se para \dfrac{1}{2\sqrt{x}} quando x>0, e em x=0 a derivada não existe (apesar de a função estar definida lá).

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x>0.
f' não existe em x=0.

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