Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função derivada de
. A função fornecida é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão contém uma raiz quadrada
e uma raiz cúbica . - É pedido o valor de
(a derivada de ). - Devemos ficar atentos ao domínio da função, pois
impõe restrições sobre os permitidos.
Passo 2
Primeiro passo prático: trocar raízes por potências. Isso deixa a manipulação algébrica bem mais fácil. As duas regras básicas usadas aqui são:
-
. -
.
Aplicando isso diretamente em
temos:
Passo 3
Agora simplificamos o produto dentro do parêntese usando a regra de soma de expoentes quando as bases são iguais:
- Regra:
.
Aplicando a
obtemos
Então a função fica
Passo 4
Agora usamos a regra de potenciação de potência:
- Regra:
.
Aplicando isso temos
Ou seja, a expressão original simplifica-se exatamente para a raiz quadrada:
Passo 5
Agora vamos derivar
. Para isso usamos a regra básica para potências:
- Regra (regra do expoente/power rule): se
com constante, então
Aqui
. Um exemplo simples para fixar: se
então
(aplicando a mesma regra).
Passo 6
Aplicando a regra do expoente com
obtemos
Agora escrevemos isso numa forma mais familiar (sem expoente negativo) usando
:
Passo 7
Precisamos discutir o domínio onde essa derivada vale. Observações sobre domínio:
- A função original envolve
, então ela só está definida para . - A expressão
exige , ou seja, . Logo a fórmula vale apenas para .
Verificação do ponto
:
. O limite do quociente diferencial ao aproximar
dá
logo a derivada em
não existe (tende a infinito pela direita). Concluímos que não há derivada em
.
Passo 8
Resumo final: a derivada simplifica-se para
quando
, e em
a derivada não existe (apesar de a função estar definida lá).