Determinar a função derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a função derivada de
.
Função dada (tudo que temos disponível):
Função dada (tudo que temos disponível):
Lista das informações relevantes do enunciado:
; A função é soma de três termos:
,
e
.
; Vamos diferenciar termo a termo usando regras básicas (linearidade, regra da cadeia, derivadas de funções trigonométricas e regra do poder para
).
Não vamos resolver ainda — só identifiquei o pedido e os dados.
Não vamos resolver ainda — só identifiquei o pedido e os dados.
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
Regra da cadeia (a mais importante aqui): se temos uma composição
, então
Explicação da regra da cadeia: pense em
como a “parte de dentro” e
como a “parte de fora”. Primeiro derivamos a parte de fora avaliando em
, depois multiplicamos pela derivada da parte de dentro
.
Derivadas trigonométricas básicas:
Derivadas trigonométricas básicas:
Regra do poder (para
): se
, então
No caso
, então
(desde que
).
Passo 3
Diferenciando o primeiro termo
.
Aplicamos a regra da cadeia com e
.
Aplicamos a regra da cadeia com
- Derivada de
em é . - Derivada de
é .
Pelo produto da cadeia:
Comentário didático: você pode pensar “deriva de seno é cosseno” e depois multiplica pela derivada de
que é
.
Passo 4
Diferenciando o segundo termo
.
Aplicamos regra da cadeia com e
.
Aplicamos regra da cadeia com
-
. -
.
Portanto
Dica prática: o sinal negativo vem porque a derivada de
é
. Depois sempre multiplica pelo fator que vem de dentro.
Passo 5
Diferenciando o terceiro termo
. Passo a passo bem mastigado:
- Identifique as funções na composição:
e . - Derivada de
é . - Derivada de
usando regra do poder: (válido para ).
Agora aplique a cadeia:
Podemos escrever isso de duas formas equivalentes (escolha a que preferir na prova):
Explicação extra: a razão entre essas formas é que
. A segunda forma às vezes facilita cálculo numérico.
Passo 6
Juntando tudo pela linearidade (somamos as derivadas dos três termos). Relembrando as três derivadas parciais que obtivemos:
Somando essas três expressões obtemos a derivada completa
. Não esqueça da observação de domínio: o terceiro termo exige
para usar a forma com
e evitar divisão por zero em
.