Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}(3 x)+\cos \left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{tg}(\sqrt{x})

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a função derivada de f.
Função dada (tudo que temos disponível):
f(x)=\operatorname{sen}(3 x)+\cos\!\left(\frac{x}{5}\right)+\operatorname{tg}(\sqrt{x})
Lista das informações relevantes do enunciado:
\;1.; A função é soma de três termos: \operatorname{sen}(3x), \cos\!\big(\tfrac{x}{5}\big) e \operatorname{tg}(\sqrt{x}).
\;2.; Vamos diferenciar termo a termo usando regras básicas (linearidade, regra da cadeia, derivadas de funções trigonométricas e regra do poder para \sqrt{x}).
Não vamos resolver ainda — só identifiquei o pedido e os dados.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
\text{(linearidade)}\quad \frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x).
Regra da cadeia (a mais importante aqui): se temos uma composição h(x)=F(G(x)), então
\frac{d}{dx}F(G(x))=F'(G(x))\cdot G'(x).
Explicação da regra da cadeia: pense em G(x) como a “parte de dentro” e F como a “parte de fora”. Primeiro derivamos a parte de fora avaliando em G(x), depois multiplicamos pela derivada da parte de dentro G'(x).
Derivadas trigonométricas básicas:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}.
Regra do poder (para \sqrt{x}): se x^n, então
\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}.
No caso \sqrt{x}=x^{1/2}, então \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (desde que x>0).

Passo 3

Diferenciando o primeiro termo \operatorname{sen}(3x).
Aplicamos a regra da cadeia com F(u)=\operatorname{sen}(u) e u(x)=3x.
  • Derivada de F em u é F'(u)=\cos u.
  • Derivada de u(x) é u'(x)=3.
    Pelo produto da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=\cos(3x)\cdot 3 = 3\cos(3x).
Comentário didático: você pode pensar “deriva de seno é cosseno” e depois multiplica pela derivada de 3x que é 3.

Passo 4

Diferenciando o segundo termo \cos\!\left(\tfrac{x}{5}\right).
Aplicamos regra da cadeia com F(v)=\cos v e v(x)=\tfrac{x}{5}.
  • F'(v)=-\sin v.
  • v'(x)=\tfrac{d}{dx}\big(\tfrac{x}{5}\big)=\tfrac{1}{5}.
    Portanto
\frac{d}{dx}\cos\!\left(\frac{x}{5}\right) = -\sin\!\left(\frac{x}{5}\right)\cdot\frac{1}{5} = -\frac{1}{5}\sin\!\left(\frac{x}{5}\right).
Dica prática: o sinal negativo vem porque a derivada de \cos é -\sin. Depois sempre multiplica pelo fator que vem de dentro.

Passo 5

Diferenciando o terceiro termo \operatorname{tg}(\sqrt{x}). Passo a passo bem mastigado:
  1. Identifique as funções na composição: F(w)=\operatorname{tg}(w) e w(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
  2. Derivada de F é F'(w)=\operatorname{sec}^2 w=\dfrac{1}{\cos^2 w}.
  3. Derivada de w usando regra do poder: w'(x)=\dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (válido para x>0).
    Agora aplique a cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\sqrt{x})=\operatorname{sec}^2(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Podemos escrever isso de duas formas equivalentes (escolha a que preferir na prova):
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}\operatorname{sec}^2(\sqrt{x}) \qquad\text{ou}\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}\,\cos^2(\sqrt{x})}.
Explicação extra: a razão entre essas formas é que \operatorname{sec}^2 t = 1/\cos^2 t. A segunda forma às vezes facilita cálculo numérico.

Passo 6

Juntando tudo pela linearidade (somamos as derivadas dos três termos). Relembrando as três derivadas parciais que obtivemos:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=3\cos(3x),
\frac{d}{dx}\cos\!\left(\frac{x}{5}\right)=-\frac{1}{5}\sin\!\left(\frac{x}{5}\right),
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}\,\cos^2(\sqrt{x})}.
Somando essas três expressões obtemos a derivada completa f'(x). Não esqueça da observação de domínio: o terceiro termo exige x>0 para usar a forma com \sqrt{x} e evitar divisão por zero em \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=3\cos(3x)-\frac{1}{5}\sin\!\left(\frac{x}{5}\right)+\frac{1}{2\sqrt{x}\,\cos^2(\sqrt{x})}

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