Determinar a grandeza e a direção do gradiente da função
u(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
no ponto P=(2,-2,1).

Passo 1

O enunciado dá a função u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 e pede a grandeza e a direção do gradiente em P=(2,-2,1). Vamos usar cálculo de derivadas parciais para obter \nabla u e, em seguida, calcular seu módulo e o versor direção.

Passo 2

As componentes do gradiente vêm das derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial u}{\partial z}=2z.
Logo,
\nabla u(x,y,z)=(2x,\,2y,\,2z).

Passo 3

Em P=(2,-2,1) temos
\nabla u(P)=(2\cdot2,\,2\cdot(-2),\,2\cdot1)=(4,\,-4,\,2).

Passo 4

O módulo de \nabla u(P) é
\|\nabla u(P)\|=\sqrt{4^2+(-4)^2+2^2} =\sqrt{16+16+4} =\sqrt{36} =6.

Passo 5

O versor na direção de \nabla u(P) é
\mathbf{v} =\frac{\nabla u(P)}{\|\nabla u(P)\|} =\Bigl(\frac{4}{6},\frac{-4}{6},\frac{2}{6}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\Bigr).

Resposta

A grandeza do gradiente em P é 6 e sua direção (versor) é \bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\bigr).

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