Verificar que a derivada da função
tomada em qualquer ponto da elipse
ao longo da normal à mesma, é igual a zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer ponto da elipse definida por
a derivada direcional de
na direção normal à elipse vale zero.
Conteúdo envolvido: derivada direcional, gradiente de uma função, vetor normal a uma curva dada por nível.
Conteúdo envolvido: derivada direcional, gradiente de uma função, vetor normal a uma curva dada por nível.
Passo 2
Para achar a direção normal à elipse, consideramos a função de nível
O vetor normal (não normalizado) em cada ponto é dado pelo gradiente de
:
Passo 3
Calculemos o gradiente de
As derivadas parciais são
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Passo 4
A derivada direcional de
na direção normal segue de
onde
é o vetor normal unitário. Basta ver que
Como
é colinear a
, segue que
.
Resposta
A derivada direcional de
ao longo da normal à elipse
é igual a zero.