Determinar a hipérbole cujo o centro é Q-(4,3), um dos vértices do eixo real é D=(4,2) e a distância focal é 4 .
a. x^{2}-3 y^{2}-8 x+18 y-8=0
b. x^{2}-3 y^{2}-10 x+24 y-20=0
c. -3 x^{2}+y^{2}+30 x-8 y-56=0
d. -3 x^{2}+y^{2}+30 x-6 y-63=0
e. x^{2}-3 y^{2}-8 x+24 y-29=0
f. x^{2}-3 y^{2}-10 x+18 y+1=0

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole de centro Q=(4,3), com um vértice em D=(4,2) e distância focal igual a 4. Precisamos usar a forma padrão de uma hipérbole com eixo transverso vertical e a relação
c^2 = a^2 + b^2
onde 2c é a distância entre os focos.

Passo 2

Como o vértice D tem a mesma abscissa que o centro, o eixo transverso é vertical. Logo a forma padrão é
\frac{(y-3)^2}{a^2} \;-\;\frac{(x-4)^2}{b^2} \;=\;1.

Passo 3

O vértice D=(4,2) satisfaz y=3\pm a. Como 2=3-a, segue que
a = 1.

Passo 4

A distância focal é 2c=4, então c=2. Pela relação c^2=a^2+b^2 vem
4 = 1 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 3.

Passo 5

Substituindo em forma padrão:
\frac{(y-3)^2}{1} \;-\;\frac{(x-4)^2}{3} = 1.

Passo 6

Multiplicando por 3 e expandindo:
3(y-3)^2 - (x-4)^2 = 3
3y^2 -18y +27 \;-\;x^2 +8x -16 =3
-x^2 +3y^2 +8x -18y +11 =3
-x^2 +3y^2 +8x -18y +8 =0
Multiplicando por -1:
x^2 - 3y^2 - 8x + 18y - 8 = 0.

Passo 7

Essa equação coincide com a alternativa (a).

Resposta

(a)

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