7.69 Seja S o conjunto constituído dos vetores de \mathbf{R}^{4} dados.
u_{1}=(1,1,1,1), \quad u_{2}=(1,1,-1,-1), \quad u_{3}=(1,-1,1,-1), \quad u_{4}=(1,-1,-1,1)
(a) Mostre que S é ortogonal e uma base de \mathbf{R}^{4}.
(b) Escreva v=(1,3,-5,6) como uma combinação linear de u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}.
(c) Encontre as coordenadas de um vetor v=(a, b, c, d) arbitrário de \mathbf{R}^{4} em relação à base S.
(d) Normalize S para obter um conjunto ortonormal de \mathbf{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\}\subset\mathbf{R}^4
com
u_{1}=(1,1,1,1),\quad u_{2}=(1,1,-1,-1),\quad u_{3}=(1,-1,1,-1),\quad u_{4}=(1,-1,-1,1),
e pede: (a) mostrar que S é ortogonal e base de \mathbf{R}^4; (b) expressar v=(1,3,-5,6) em S; (c) dar as coordenadas de (a,b,c,d) em S; (d) normalizar S para um conjunto ortonormal.

Passo 2

Para verificar ortogonalidade, calculemos os produtos internos. Para i\neq j temos
\langle u_i,u_j\rangle =\sum_{k=1}^4 (u_i)_k\,(u_j)_k=0
(por cancelamento de sinais), e para cada i \langle u_i,u_i\rangle =1^2+1^2+(-1)^2+(-1)^2=4\neq0.
Como são quatro vetores ortogonais não nulos em \mathbf{R}^4, eles são linearmente independentes e formam uma base ortogonal.

Passo 3

Em base ortogonal, os coeficientes de v são
\alpha_i =\frac{\langle u_i,v\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}.
Calculando:
\langle u_1,v\rangle=1+3-5+6=5,\quad \langle u_2,v\rangle=1+3+5-6=3,
\langle u_3,v\rangle=1-3-5-6=-13,\quad \langle u_4,v\rangle=1-3+5+6=9.
Logo
v =\frac{5}{4}u_1+\frac{3}{4}u_2-\frac{13}{4}u_3+\frac{9}{4}u_4.

Passo 4

Para um vetor genérico w=(a,b,c,d), por simetria:
\alpha_1=\frac{a+b+c+d}{4},\quad \alpha_2=\frac{a+b-c-d}{4},
\alpha_3=\frac{a-b+c-d}{4},\quad \alpha_4=\frac{a-b-c+d}{4},
isto é,
(a,b,c,d) =\sum_{i=1}^4\alpha_i\,u_i.

Passo 5

Como \|u_i\|=\sqrt{4}=2, basta dividir cada u_i por 2 para obter o conjunto ortonormal:
e_i=\frac{u_i}{2},\quad i=1,2,3,4.

Resposta

(a) S é ortogonal pois \langle u_i,u_j\rangle=0 para i\neq j e forma base de \mathbf{R}^4 por ter 4 vetores ortogonais não nulos.
(b) v=(1,3,-5,6)=\tfrac{5}{4}u_1+\tfrac{3}{4}u_2-\tfrac{13}{4}u_3+\tfrac{9}{4}u_4.
(c) Para (a,b,c,d), as coordenadas em S são \bigl(\tfrac{a+b+c+d}{4},\,\tfrac{a+b-c-d}{4},\,\tfrac{a-b+c-d}{4},\,\tfrac{a-b-c+d}{4}\bigr).
(d) O conjunto ortonormal é \{e_i=u_i/2:\,i=1,2,3,4\}.

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