7.69 Seja
o conjunto constituído dos vetores de
dados.
(a) Mostre que
é ortogonal e uma base de
.
(b) Escreva
como uma combinação linear de
.
(c) Encontre as coordenadas de um vetor
arbitrário de
em relação à base
.
(d) Normalize S para obter um conjunto ortonormal de
.
(b) Escreva
(c) Encontre as coordenadas de um vetor
(d) Normalize S para obter um conjunto ortonormal de
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com
e pede: (a) mostrar que
é ortogonal e base de
; (b) expressar
em
; (c) dar as coordenadas de
em
; (d) normalizar
para um conjunto ortonormal.
Passo 2
Para verificar ortogonalidade, calculemos os produtos internos. Para
temos
(por cancelamento de sinais), e para cada
Como são quatro vetores ortogonais não nulos em
, eles são linearmente independentes e formam uma base ortogonal.
Passo 3
Em base ortogonal, os coeficientes de
são
Calculando:
Logo
Passo 4
Para um vetor genérico
, por simetria:
isto é,
Passo 5
Como
, basta dividir cada
por 2 para obter o conjunto ortonormal:
Resposta
(a)
é ortogonal pois
para
e forma base de
por ter 4 vetores ortogonais não nulos.
(b) .
(c) Para , as coordenadas em
são
.
(d) O conjunto ortonormal é .
(b)
(c) Para
(d) O conjunto ortonormal é