Determinar os inteiros positivos a e b tais que
a^{2}-b^{2}=7344 \text { e } m d c(a, b)=12 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar os inteiros positivos a e b tais que
a^{2}-b^{2}=7344\quad\text{e}\quad \gcd(a,b)=12.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Há duas condições simultâneas sobre a e b: a diferença de quadrados e o máximo divisor comum.
  • a e b são inteiros positivos.
  • Queremos todos os pares (a,b) que satisfazem ambas as condições.

Passo 2

Usar a propriedade do máximo divisor comum para simplificar. Se \gcd(a,b)=12, então existem inteiros positivos x e y tais que
a=12x,\qquad b=12y,
com \gcd(x,y)=1. Explicação: quando dois números têm \gcd igual a d, podemos fatorar d fora de ambos; os cofactores ficam coprimos.

Passo 3

Substituir a=12x e b=12y na equação da diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(12x)^{2}-(12y)^{2}=144\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Como a^{2}-b^{2}=7344, obtemos
144\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)=7344.
Dividindo ambos os lados por 144,
x^{2}-y^{2}=\frac{7344}{144}=51.
Aqui usamos a conta 144\cdot51=144\cdot50+144=7200+144=7344.

Passo 4

Transformar a diferença de quadrados em produto. Para quaisquer inteiros,
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Portanto temos
(x-y)(x+y)=51.
Como x e y são inteiros positivos e x>y (porque x^{2}-y^{2}=51>0), os fatores x-y e x+y são inteiros positivos com produto 51.

Passo 5

Listar os pares de fatores positivos de 51. Fatorização prima de 51 é 51=3\cdot17. Assim os pares (u,v) com u\le v e uv=51 são:
(1,51)\quad\text{e}\quad(3,17).
Além disso, observar a paridade: x+y e x-y têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares). Como 51 é ímpar, os dois fatores devem ser ímpares — as opções acima são ambas pares de ímpares, portanto são admissíveis.

Passo 6

Resolver o caso (x-y,x+y)=(1,51). Somando as duas equações obtêm-se:
2x=(x-y)+(x+y)=1+51=52,
logo
x=26.
Subtraindo as equações:
2y=(x+y)-(x-y)=51-1=50,
logo
y=25.
Verificar \gcd(x,y)=\gcd(26,25)=1 (consecutivos são coprimos), então este par é válido.

Passo 7

Resolver o caso (x-y,x+y)=(3,17). Somando:
2x=3+17=20\quad\Rightarrow\quad x=10.
Subtraindo:
2y=17-3=14\quad\Rightarrow\quad y=7.
Verificar \gcd(x,y)=\gcd(10,7)=1, também válido.

Passo 8

Converter de volta para a e b usando a=12x e b=12y.
Para (x,y)=(26,25):
a=12\cdot26=312,\qquad b=12\cdot25=300.
Verificação rápida:
a-b=12,\qquad a+b=612,\qquad (a-b)(a+b)=12\cdot612=7344,
logo a^{2}-b^{2}=7344 e \gcd(312,300)=12 (pois 312-300=12).
Para (x,y)=(10,7):
a=12\cdot10=120,\qquad b=12\cdot7=84.
Verificação rápida:
a-b=36,\qquad a+b=204,\qquad (a-b)(a+b)=36\cdot204=7344,
logo a^{2}-b^{2}=7344 e \gcd(120,84)=12.

Passo 9

Concluir que não há outros pares possíveis, porque os únicos pares de fatores positivos de 51 são os considerados. Assim já encontramos todas as soluções em inteiros positivos.

Resposta

(a,b)=(312,300)
(a,b)=(120,84)

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