Determinar os inteiros positivos
e
tais que
Passo 1
O enunciado pede: determinar os inteiros positivos
e
tais que
Informações dadas e o que é pedido:
- Há duas condições simultâneas sobre
e : a diferença de quadrados e o máximo divisor comum. -
e são inteiros positivos. - Queremos todos os pares
que satisfazem ambas as condições.
Passo 2
Usar a propriedade do máximo divisor comum para simplificar. Se
, então existem inteiros positivos
e
tais que
com
. Explicação: quando dois números têm
igual a
, podemos fatorar
fora de ambos; os cofactores ficam coprimos.
Passo 3
Substituir
e
na equação da diferença de quadrados:
Como
, obtemos
Dividindo ambos os lados por
,
Aqui usamos a conta
.
Passo 4
Transformar a diferença de quadrados em produto. Para quaisquer inteiros,
Portanto temos
Como
e
são inteiros positivos e
(porque
), os fatores
e
são inteiros positivos com produto
.
Passo 5
Listar os pares de fatores positivos de
. Fatorização prima de
é
. Assim os pares
com
e
são:
Além disso, observar a paridade:
e
têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares). Como
é ímpar, os dois fatores devem ser ímpares — as opções acima são ambas pares de ímpares, portanto são admissíveis.
Passo 6
Resolver o caso
. Somando as duas equações obtêm-se:
logo
Subtraindo as equações:
logo
Verificar
(consecutivos são coprimos), então este par é válido.
Passo 7
Resolver o caso
. Somando:
Subtraindo:
Verificar
, também válido.
Passo 8
Converter de volta para
e
usando
e
.
Para
:
Verificação rápida:
logo
e
(pois
).
Para
:
Verificação rápida:
logo
e
.
Passo 9
Concluir que não há outros pares possíveis, porque os únicos pares de fatores positivos de
são os considerados. Assim já encontramos todas as soluções em inteiros positivos.