Mostre que m d c(a+b, a-b) \geq m d c(a, b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade entre máximos divisores comuns. Dados relevantes que vamos usar:
  • São dados dois inteiros a e b.
  • O que se pede: provar que
\gcd(a+b,\;a-b)\ge \gcd(a,b).
Observação: quando for necessário usarei a notação \gcd(\cdot,\cdot) para máximo divisor comum. Vou assumir a e b inteiros e que o problema está formulado para esses inteiros (casos degenerados serão comentados).

Passo 2

Definir uma variável útil: seja
g=\gcd(a,b).
Pelo significado de máximo divisor comum, existe uma escrita com fator comum:
a=gx,\qquad b=gy,
onde x e y são inteiros tais que
\gcd(x,y)=1.
Explicando devagar: escrever a e b como g vezes algo é sempre possível porque g divide a e b; o requisito \gcd(x,y)=1 decorre do fato de termos retirado todo o fator comum g.

Passo 3

Escrever os termos da desigualdade em função de g,x,y. Temos
a+b = g(x+y),\qquad a-b=g(x-y).
Portanto
\gcd(a+b,\;a-b)=\gcd\bigl(g(x+y),\;g(x-y)\bigr).

Passo 4

Usar a propriedade básica de divisores: para inteiro g e inteiros u,v vale
\gcd(gu,\;gv)=|g|\cdot\gcd(u,v).
Breve justificativa didática: qualquer divisor comum de gu e gv é múltiplo de |g| vezes um divisor comum de u e v, e recíproco; assim os divisores comuns correspondem e o máximo também escala por |g|. Aplicando essa propriedade ao caso anterior obtemos
\gcd\bigl(g(x+y),\;g(x-y)\bigr)=|g|\cdot\gcd(x+y,\;x-y).

Passo 5

Observar que \gcd(x+y,\;x-y) é um inteiro positivo. Logo
\gcd(a+b,\;a-b)=|g|\cdot\gcd(x+y,\;x-y)\ge |g|.
Como g=\gcd(a,b) é não negativo (normalmente toma-se g\ge 0), podemos escrever
\gcd(a+b,\;a-b)\ge \gcd(a,b).
Isso encerra a prova do enunciado: a razão é que ao fatorar o gcd comum g sobra um gcd entre x+y e x-y que é pelo menos 1.

Passo 6

Comentário sobre casos especiais (empatia e segurança para a prova): se a=b=0 então \gcd(0,0) é um caso degenerado (algumas convenções definem como 0, outras deixam indefinido). Para qualquer outro par (a,b) inteiros, a demonstração acima vale sem problemas. Em particular, quando g\neq 0 a fatoração é direta; quando g=0 isso significa que a=b=0 já mencionado.

Passo 7

Exemplo concreto rápido para fixar a ideia: tome a=6 e b=4. Então \gcd(a,b)=2. Calcula-se a+b=10 e a-b=2, e \gcd(10,2)=2. Aqui \gcd(a+b,a-b)=2\ge 2=\gcd(a,b). Outro exemplo: a=5,b=3 \gcd(5,3)=1 e \gcd(8,2)=2\ge1; a desigualdade aparece estritamente.

Resposta

\gcd(a+b,\;a-b)\ge \gcd(a,b)

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