Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade entre máximos divisores comuns. Dados relevantes que vamos usar:
- São dados dois inteiros
e . - O que se pede: provar que
Observação: quando for necessário usarei a notação
para máximo divisor comum. Vou assumir
e
inteiros e que o problema está formulado para esses inteiros (casos degenerados serão comentados).
Passo 2
Definir uma variável útil: seja
Pelo significado de máximo divisor comum, existe uma escrita com fator comum:
onde
e
são inteiros tais que
Explicando devagar: escrever
e
como
vezes algo é sempre possível porque
divide
e
; o requisito
decorre do fato de termos retirado todo o fator comum
.
Passo 3
Escrever os termos da desigualdade em função de
. Temos
Portanto
Passo 4
Usar a propriedade básica de divisores: para inteiro
e inteiros
vale
Breve justificativa didática: qualquer divisor comum de
e
é múltiplo de
vezes um divisor comum de
e
, e recíproco; assim os divisores comuns correspondem e o máximo também escala por
. Aplicando essa propriedade ao caso anterior obtemos
Passo 5
Observar que
é um inteiro positivo. Logo
Como
é não negativo (normalmente toma-se
), podemos escrever
Isso encerra a prova do enunciado: a razão é que ao fatorar o gcd comum
sobra um gcd entre
e
que é pelo menos
.
Passo 6
Comentário sobre casos especiais (empatia e segurança para a prova): se
então
é um caso degenerado (algumas convenções definem como
, outras deixam indefinido). Para qualquer outro par
inteiros, a demonstração acima vale sem problemas. Em particular, quando
a fatoração é direta; quando
isso significa que
já mencionado.
Passo 7
Exemplo concreto rápido para fixar a ideia: tome
e
. Então
. Calcula-se
e
, e
. Aqui
. Outro exemplo:
dá
e
; a desigualdade aparece estritamente.