Sejam a e c inteiros, com a \neq 0 ou c \neq 0. Prove que m d c(a, a+c) \mid c.

Passo 1

O enunciado dá que a e c são inteiros e que a\neq 0 ou c\neq 0 (ou ambos). O que se pede é provar que
\gcd(a,a+c)\mid c.
Ou seja, mostrar que o máximo divisor comum de a e a+c divide o inteiro c.

Passo 2

Vou lembrar e explicar de forma bem direta algumas noções que vou usar.
Definição de divisibilidade. Dizemos que um inteiro d divide um inteiro x e escrevemos d\mid x se existe um inteiro k tal que x=d\cdot k. Exemplo rápido: 3\mid 15 porque 15=3\cdot5.
Propriedade útil (linearidade da divisibilidade). Se d\mid x e d\mid y então, para quaisquer inteiros u,v, vale d\mid(ux+vy). A demonstração é simples: escrevendo x=dk e y=dl com k,l\in\mathbb{Z}, obtemos
ux+vy = u(dk)+v(dl)=d(uk+vl),
que é múltiplo de d. Uma instância importante dessa propriedade é que, se d\mid x e d\mid y, então d\mid(y-x) (tome u=-1 e v=1).

Passo 3

Defina d=\gcd(a,a+c). Pela definição de máximo divisor comum, d é um inteiro que divide ambos a e a+c; isto é,
d\mid a \qquad\text{e}\qquad d\mid(a+c).
Aplicando a propriedade do passo anterior com x=a e y=a+c, temos que d divide a diferença
(a+c)-a = c.
Formalmente, como d\mid a e d\mid(a+c), segue d\mid c.

Passo 4

Comentário adicional (opcional, para fixar a ideia). A observação feita equivale ao passo do algoritmo de Euclides que diz que \gcd(a,a+c)=\gcd(a,c). Portanto o máximo divisor comum de a e a+c é também divisor de c. O argumento apresentado é curto e direto: funciona para todos os inteiros a,c (com a ressalva do enunciado que não são ambos zero). Note também que o sinal (positivo/negativo) não altera a divisibilidade, então costuma-se considerar \gcd não negativo.

Resposta

\gcd(a,a+c)\mid c

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