Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{2}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=7 x^{2}-6 x+3

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar onde a função
f(x)=7x^{2}-6x+3
é crescente ou decrescente e também identificar seus pontos de máximo e mínimo usando o teste da segunda derivada.
Para isso vamos precisar de:
  1. Calcular a primeira derivada f'(x) para achar pontos críticos.
  2. Calcular a segunda derivada f''(x) para ver a concavidade e classificar esses pontos.
  3. Analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para concluir onde a função cresce ou decresce.

Passo 2

Vamos achar a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(7x^{2}-6x+3\bigr) =14x-6.
Para encontrar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0:
14x-6=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada para aplicar o teste da segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(14x-6)=14.
Como f''(x)=14>0 para todo x, a concavidade da parábola é para cima em toda a reta. Isso significa que o ponto crítico x=\tfrac{3}{7} é um mínimo local (na verdade o mínimo global também, pois a parábola tem concavidade positiva). Não há máximo local, já que a parábola abre para cima.

Passo 4

Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de
f'(x)=14x-6.
Se 14x-6>0, então a função é crescente; se 14x-6<0, é decrescente.
  • 14x-6>0 acontece quando x>\tfrac{6}{14}=\tfrac{3}{7}.
  • 14x-6<0 acontece quando x<\tfrac{3}{7}.

Resposta

A função é decrescente em \,(-\infty,\tfrac{3}{7}) e crescente em (\tfrac{3}{7},+\infty).
Há um único mínimo em x=\tfrac{3}{7}, cujo valor é
f\bigl(\tfrac{3}{7}\bigr) =7\Bigl(\tfrac{3}{7}\Bigr)^{2} -6\Bigl(\tfrac{3}{7}\Bigr) +3 =\frac{12}{7}.
Não existe ponto de máximo local.

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