Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da
derivada):
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar onde a função
é crescente ou decrescente e também identificar seus pontos de máximo e mínimo usando o teste da segunda derivada.
Para isso vamos precisar de:
Para isso vamos precisar de:
- Calcular a primeira derivada
para achar pontos críticos. - Calcular a segunda derivada
para ver a concavidade e classificar esses pontos. - Analisar o sinal de
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para concluir onde a função cresce ou decresce.
Passo 2
Vamos achar a primeira derivada:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
:
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada para aplicar o teste da segunda derivada:
Como
para todo
, a concavidade da parábola é para cima em toda a reta. Isso significa que o ponto crítico
é um mínimo local (na verdade o mínimo global também, pois a parábola tem concavidade positiva). Não há máximo local, já que a parábola abre para cima.
Passo 4
Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de
Se
, então a função é crescente; se
, é decrescente.
-
acontece quando . -
acontece quando .
Resposta
A função é decrescente em
e crescente em
.
Há um único mínimo em , cujo valor é
Há um único mínimo em
Não existe ponto de máximo local.