Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{2}^{\mathbf{a}} derivada):
h(x)=\frac{1}{3} x^{3}+3 x^{2}-7 x+9

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
h(x)=\frac{1}{3}x^{3}+3x^{2}-7x+9
e identificar os pontos de máximo e mínimo locais usando o teste da segunda derivada. Para isso vamos calcular h'(x), achar os pontos críticos, depois calcular h''(x) e usar o sinal de h'' nesses pontos.

Passo 2

Derivando h(x) obtemos
h'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{3}+3x^{2}-7x+9\Bigr)=x^{2}+6x-7.
Os pontos críticos vêm de
h'(x)=0\;\Longrightarrow\;x^{2}+6x-7=0\;\Longrightarrow\;x=\frac{-6\pm\sqrt{36+28}}{2}=\frac{-6\pm8}{2},
logo
x_{1}=-7,\quad x_{2}=1.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada:
h''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+6x-7\bigr)=2x+6.
Em x=-7:
h''(-7)=2(-7)+6=-8<0,
portanto x=-7 é ponto de máximo local.
Em x=1:
h''(1)=2\cdot1+6=8>0,
portanto x=1 é ponto de mínimo local.

Passo 4

Para determinar os intervalos de monotonicidade, analisamos o sinal de h'(x)=x^{2}+6x-7, um polinômio quadrático que abre para cima. Suas raízes são -7 e 1, logo:
  • h'(x)>0 para x< -7 ou x>1, isto é, h cresce em (-\infty,-7) e em (1,\infty).
  • h'(x)<0 para -7<x<1, isto é, h decresce em (-7,1).

Resposta

Crescimento: (-\infty,-7)\cup(1,\infty)
Decrescimento: (-7,1)
Máximo local em x=-7, com
h(-7)=\frac{272}{3}.
Mínimo local em x=1, com
h(1)=\frac{16}{3}.

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