Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da
derivada):
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
cresce ou decresce e também identificar os pontos de máximo e mínimo locais, usando o teste da segunda derivada. Para isso vamos precisar calcular a primeira derivada
para encontrar pontos críticos e depois a segunda derivada
para classificar esses pontos.
Passo 2
Calculemos a primeira derivada:
Os pontos críticos satisfazem
, ou seja,
Passo 3
Agora a segunda derivada:
Note que
é constante e igual a
para todo
.
Passo 4
Pelo teste da segunda derivada, em cada ponto crítico
:
- Se
, há mínimo local em . - Se
, há máximo local em .
Aqui
, portanto em
a função apresenta um máximo local.
Passo 5
Para determinar intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de
:
- Quando
, tem-se , logo e cresce em . - Quando
, tem-se , logo e decresce em .
Resposta
Cresce em
.
Decresce em .
Tem um único máximo local (e global) em , com valor
Decresce em
Tem um único máximo local (e global) em
Não há mínimos locais.