Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{2}^{\mathbf{a}} derivada):
g(x)=4 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
g(x)=4x - x^{2}
cresce ou decresce e também identificar os pontos de máximo e mínimo locais, usando o teste da segunda derivada. Para isso vamos precisar calcular a primeira derivada g'(x) para encontrar pontos críticos e depois a segunda derivada g''(x) para classificar esses pontos.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada:
g'(x) = \frac{d}{dx}(4x - x^{2}) = 4 - 2x.
Os pontos críticos satisfazem g'(x)=0, ou seja,
4 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
g''(x) = \frac{d}{dx}(4 - 2x) = -2.
Note que g''(x) é constante e igual a -2 para todo x.

Passo 4

Pelo teste da segunda derivada, em cada ponto crítico x_c:
  • Se g''(x_c)>0, há mínimo local em x_c.
  • Se g''(x_c)<0, há máximo local em x_c.
Aqui g''(2) = -2 < 0, portanto em x=2 a função apresenta um máximo local.

Passo 5

Para determinar intervalos de crescimento e decrescimento, analisamos o sinal de g'(x)=4-2x:
  • Quando x<2, tem-se 4-2x>0, logo g'(x)>0 e g cresce em (-\infty,2).
  • Quando x>2, tem-se 4-2x<0, logo g'(x)<0 e g decresce em (2,\infty).

Resposta

Cresce em (-\infty,2).
Decresce em (2,\infty).
Tem um único máximo local (e global) em x=2, com valor
g(2)=4\cdot 2 - 2^{2} = 8 - 4 = 4.
Não há mínimos locais.

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