Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{2}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=2+2 x^{2}-x^{4}

Passo 1

O enunciado pede os intervalos onde a função
f(x)=2+2x^{2}-x^{4}
é crescente ou decrescente, e também os pontos de máximo e mínimo locais, tudo isso usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos precisar calcular a primeira derivada f'(x) (para achar os pontos críticos e o sinal de crescimento) e a segunda derivada f''(x) (para classificar os extremos).

Passo 2

Calcular a primeira derivada e localizar os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2+2x^{2}-x^{4}\bigr)=4x-4x^{3}=4x\bigl(1-x^{2}\bigr).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja,
4x\bigl(1-x^{2}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\quad x=1,\quad x=-1.

Passo 3

Calcular a segunda derivada e aplicar o teste:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x-4x^{3}\bigr)=4-12x^{2}=4\bigl(1-3x^{2}\bigr).
Avaliação em cada ponto crítico:
  • Em x=0: f''(0)=4>0, logo é mínimo local.
    Valor: f(0)=2+0-0=2.
  • Em x=1: f''(1)=4-12=-8<0, logo é máximo local.
    Valor: f(1)=2+2-1=3.
  • Em x=-1: f''(-1)=4-12=-8<0, também máximo local.
    Valor: f(-1)=2+2-1=3.

Passo 4

Determinar onde f'(x) é positivo (crescente) ou negativo (decrescente). Como
f'(x)=4x\,(1-x^{2}),
montamos o quadro de sinais em função dos zeros -1,0,1:
  • Para x<-1: x<0 e 1-x^{2}<0 \Rightarrow f'(x)>0. Crescente.
  • Para -1<x<0: x<0 e 1-x^{2}>0 \Rightarrow f'(x)<0. Decrescente.
  • Para 0<x<1: x>0 e 1-x^{2}>0 \Rightarrow f'(x)>0. Crescente.
  • Para x>1: x>0 e 1-x^{2}<0 \Rightarrow f'(x)<0. Decrescente.

Resposta

Intervalos de crescimento:
(-\infty,-1) e (0,1)
Intervalos de decrescimento:
(-1,0) e (1,+\infty)
Máximos locais:
\displaystyle x=-1 e x=1, com f(-1)=f(1)=3
Mínimo local:
\displaystyle x=0, com f(0)=2

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