Determinar a inversa da função f: R_{+}^{*} \rightarrow R dada por f(x)=\log _{10} \sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon \mathbb{R}_{+}^{*}\to \mathbb{R}, \quad f(x)=\log_{10}\sqrt{x},
e pede sua inversa. O conteúdo envolvido é o conceito de função inversa e as propriedades de logaritmo e exponenciação.

Passo 2

Defina y=f(x). Então
y=\log_{10}\sqrt{x}.
Usando \sqrt{x}=x^{1/2} e a propriedade \log_{10}(x^{a})=a\,\log_{10}x, obtemos
y=\tfrac12\,\log_{10}x.

Passo 3

Multiplique ambos os lados por 2 para isolar \log_{10}x:
2y=\log_{10}x.
Em seguida, passe para a forma exponencial de base 10:
x=10^{2y}.

Passo 4

Como x=f^{-1}(y), concluímos
f^{-1}(y)=10^{2y}.
Renomeando a variável independente de volta para x, fica
f^{-1}(x)=10^{2x},
com domínio \mathbb{R} e imagem \mathbb{R}_{+}^{*}.

Resposta

f^{-1}(x)=10^{2x}.

Exercícios relacionados