Determinar a inversa da função f:[-\pi, \pi] \rightarrow[-1,1] dada pela lei f(x)=\operatorname{sen} \frac{x}{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f\colon [-\pi,\pi]\to[-1,1],\quad f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)
e pede f^{-1}. O conteúdo aqui é inversão de função trigonométrica, usando a monotonicidade de \operatorname{sen} no intervalo restrito de \bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr].

Passo 2

Mostramos que f é bijetora. Calculamos a derivada:
f'(x)=\tfrac12\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Como para x\in[-\pi,\pi] temos \tfrac{x}{2}\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2] e \cos é não negativa nesse intervalo, segue f'(x)\ge0, logo f é estritamente crescente. Além disso,
f(-\pi)=\operatorname{sen}\bigl(-\tfrac\pi2\bigr)=-1,\quad f(\pi)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1,
portanto o contradomínio é exatamente [-1,1]. Assim f é bijetora.

Passo 3

Para achar a inversa, seja y=f(x)=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr). Como \tfrac{x}{2}\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2], podemos aplicar a função inversa \arcsin nesse ramo de forma direta:
\tfrac{x}{2}=\arcsin(y).
Multiplicando por 2 obtemos
x=2\,\arcsin(y).

Passo 4

Concluímos que a inversa f^{-1} é dada por
f^{-1}\colon[-1,1]\to[-\pi,\pi],\quad f^{-1}(y)=2\,\arcsin(y).

Resposta

f^{-1}(y)=2\,\arcsin(y),\quad y\in[-1,1].

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