Determinar:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \operatorname{sen} \frac{\pi}{n}\right)

Passo 1

O problema pede calcular o seguinte limite quando n tende ao infinito:
\lim_{n\to\infty}\left(n\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}\right).
Informações dadas/observações imediatas:
  • A expressão envolve \operatorname{sen} (seno) de \dfrac{\pi}{n}.
  • A variável que vai ao infinito é n.
  • Não há outros dados numéricos além de \pi e da forma da expressão.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão trocando a variável: defina
x=\frac{\pi}{n}.
Explicando essa mudança: quando n\to\infty, o quociente \dfrac{\pi}{n} tende a 0, então x\to 0^+. Em termos de x temos n=\dfrac{\pi}{x}. Substituindo na expressão original obtemos:
n\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}=\frac{\pi}{x}\operatorname{sen} x=\pi\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Logo o limite desejado transforma-se em
\lim_{n\to\infty}\left(n\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}\right) = \lim_{x\to 0^+}\left(\pi\cdot\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right) = \pi\cdot\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Portanto passou a ser suficiente calcular \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}.

Passo 3

Agora vamos estudar a expressão \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} quando x se aproxima de 0. Uma técnica clássica e rigorosa usa uma desigualdade trigonométrica para x em (0,\tfrac{\pi}{2}):
\operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x.
Vou explicar por que essa desigualdade é verdadeira (argumento geométrico simples).

Passo 4

Prova geométrica da desigualdade \operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x para 0<x<\tfrac{\pi}{2}:
Considere o círculo unitário (raio 1) e o ângulo central de medida x (em radianos). Três áreas que envolvem esse ângulo são:
  • A área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda correspondente é \dfrac{1}{2}\operatorname{sen} x.
  • A área do setor circular correspondente ao ângulo x é \dfrac{1}{2}x (área do setor = \tfrac{1}{2}r^2\theta com r=1).
  • A área do triângulo formado pela tangente ao círculo e os dois raios (maior que o setor) é \dfrac{1}{2}\operatorname{tg} x.
Essas três áreas ficam em ordem crescente quando 0<x<\tfrac{\pi}{2}, ou seja:
\frac{1}{2}\operatorname{sen} x \;<\; \frac{1}{2}x \;<\; \frac{1}{2}\operatorname{tg} x.
Multiplicando tudo por 2 obtém-se
\operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x.

Passo 5

A partir de \operatorname{sen} x < x < \operatorname{tg} x dividimos todos os termos por x\operatorname{sen} x (positivo no intervalo considerado), obtendo
\cos x < \frac{\operatorname{sen} x}{x} < 1
para 0<x<\tfrac{\pi}{2}. Aqui usei o fato de que \operatorname{tg} x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}, então dividir por x\operatorname{sen} x leva a \dfrac{1}{\cos x} > \dfrac{x}{\operatorname{sen} x} > 1, e invertendo a desigualdade (ou simplesmente fazer as operações diretamente) chega-se a \cos x < \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} < 1.

Passo 6

Aplicamos agora o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Sabemos que \lim_{x\to 0^+}\cos x = 1. Como para x próximos de 0 temos
\cos x \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le 1,
com os limites das funções extremas iguais a 1, pela regra do aperto segue que
\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 7

Voltando à transformação feita no Passo 2, temos
\lim_{n\to\infty}\left(n\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}\right) = \pi\cdot\lim_{x\to 0^+}\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \pi\cdot 1 = \pi.
Pequeno comentário de encorajamento: essa é uma limite clássico — decorar a técnica de trocar a variável por x=\pi/n e usar \lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=1 é uma ótima ferramenta para provas rápidas.

Resposta

\pi

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