Determinar:
Passo 1
O problema pede calcular o seguinte limite quando
tende ao infinito:
Informações dadas/observações imediatas:
- A expressão envolve
(seno) de . - A variável que vai ao infinito é
. - Não há outros dados numéricos além de
e da forma da expressão.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão trocando a variável: defina
Explicando essa mudança: quando
, o quociente
tende a
, então
. Em termos de
temos
. Substituindo na expressão original obtemos:
Logo o limite desejado transforma-se em
Portanto passou a ser suficiente calcular
.
Passo 3
Agora vamos estudar a expressão
quando
se aproxima de
. Uma técnica clássica e rigorosa usa uma desigualdade trigonométrica para
em
:
Vou explicar por que essa desigualdade é verdadeira (argumento geométrico simples).
Passo 4
Prova geométrica da desigualdade
para
:
Considere o círculo unitário (raio
) e o ângulo central de medida
(em radianos). Três áreas que envolvem esse ângulo são:
- A área do triângulo isósceles formado pelos dois raios e a corda correspondente é
. - A área do setor circular correspondente ao ângulo
é (área do setor = com ). - A área do triângulo formado pela tangente ao círculo e os dois raios (maior que o setor) é
.
Essas três áreas ficam em ordem crescente quando
, ou seja:
Multiplicando tudo por
obtém-se
Passo 5
A partir de
dividimos todos os termos por
(positivo no intervalo considerado), obtendo
para
. Aqui usei o fato de que
, então dividir por
leva a
, e invertendo a desigualdade (ou simplesmente fazer as operações diretamente) chega-se a
.
Passo 6
Aplicamos agora o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Sabemos que
. Como para
próximos de
temos
com os limites das funções extremas iguais a
, pela regra do aperto segue que
Passo 7
Voltando à transformação feita no Passo 2, temos
Pequeno comentário de encorajamento: essa é uma limite clássico — decorar a técnica de trocar a variável por
e usar
é uma ótima ferramenta para provas rápidas.