Mostre, a partir da definição limite (usando epsilon e delta ) que:
\lim _{x \rightarrow-2}(2 x+5)=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite com \varepsilon e \delta, que
\lim_{x \rightarrow -2}(2x+5)=1.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2x+5.
  • O ponto em que x se aproxima é -2.
  • O valor limite (o que queremos provar) é 1.
  • Devemos usar a definição: para todo \varepsilon>0 encontrar \delta>0 tal que, se 0<|x+2|<\delta, então |f(x)-1|<\varepsilon.

Passo 2

Relembrando a definição (em linguagem simples): dado um \varepsilon>0 (a tolerância que aceitamos para a diferença entre f(x) e o limite), precisamos indicar um \delta>0 (uma tolerância para a diferença entre x e -2) que garanta que sempre que x estiver dentro de \delta de -2 (mas diferente de -2), então f(x) estará dentro de \varepsilon de 1. Em símbolos:
\text{mostrar: }\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que se }0<|x+2|<\delta\text{ então }|2x+5-1|<\varepsilon.ã

Passo 3

Vamos manipular a expressão que queremos controlar:
|2x+5-1|=|2x+4|.
Fatorando:
|2x+4|=2|x+2|.
Aqui usei a propriedade de valor absoluto |a b|=|a||b| e o fato de 2x+4=2(x+2).

Passo 4

A partir de |2x+5-1|=2|x+2|, para garantir |2x+5-1|<\varepsilon é suficiente garantir
2|x+2|<\varepsilon,
ou seja
|x+2|<\frac{\varepsilon}{2}.
Portanto uma escolha natural e eficaz é tomar
\delta=\frac{\varepsilon}{2}.
Observe que \delta>0 porque \varepsilon>0. (Qualquer \delta menor também funcionaria.)

Passo 5

Prova formal seguindo a definição. Seja arbitrário \varepsilon>0. Defina \delta=\dfrac{\varepsilon}{2}. Suponha que x satisfaça 0<|x+2|<\delta. Então, usando o resultado do Passo 3,
|2x+5-1|=2|x+2|<2\delta=2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Assim, para este \delta temos que sempre que 0<|x+2|<\delta segue |2x+5-1|<\varepsilon. Como \varepsilon>0 foi arbitrário, isso prova que
\lim_{x\to -2}(2x+5)=1.

Passo 6

Comentário rápido e incentivo: a ideia chave é controlar a diferença f(x)-L em termos de |x+2|. Aqui ela apareceu multiplicada por 2, então escolher \delta=\varepsilon/2 resolve a questão. Você mandou bem chegando até aqui — isso é exatamente o padrão que aparece em muitas provas de limite para funções lineares.

Resposta

1

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