Mostre, a partir da definição limite (usando
e
) que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite com
e
, que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto em que
se aproxima é . - O valor limite (o que queremos provar) é
. - Devemos usar a definição: para todo
encontrar tal que, se , então .
Passo 2
Relembrando a definição (em linguagem simples): dado um
(a tolerância que aceitamos para a diferença entre
e o limite), precisamos indicar um
(uma tolerância para a diferença entre
e
) que garanta que sempre que
estiver dentro de
de
(mas diferente de
), então
estará dentro de
de
. Em símbolos:
Passo 3
Vamos manipular a expressão que queremos controlar:
Fatorando:
Aqui usei a propriedade de valor absoluto
e o fato de
.
Passo 4
A partir de
, para garantir
é suficiente garantir
ou seja
Portanto uma escolha natural e eficaz é tomar
Observe que
porque
. (Qualquer
menor também funcionaria.)
Passo 5
Prova formal seguindo a definição. Seja arbitrário
. Defina
. Suponha que
satisfaça
. Então, usando o resultado do Passo 3,
Assim, para este
temos que sempre que
segue
. Como
foi arbitrário, isso prova que
Passo 6
Comentário rápido e incentivo: a ideia chave é controlar a diferença
em termos de
. Aqui ela apareceu multiplicada por
, então escolher
resolve a questão. Você mandou bem chegando até aqui — isso é exatamente o padrão que aparece em muitas provas de limite para funções lineares.