Esboce o gráfico da função real de uma variável f dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{rl}0, & \text { se } x \leq 1 \\\\ 1, & \text { se } x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\left\{\begin{array}{rl} 0, & \text{se } x \leq 1,\\[4pt] 1, & \text{se } x>1. \end{array}\right.
O que é pedido: esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • Para todo x com x \leq 1 o valor de f(x) é 0.
  • Para todo x com x>1 o valor de f(x) é 1.
  • No ponto x=1 a definição dá explicitamente f(1)=0 (porque 1\leq1).]

Passo 2

Entenda a função por partes (isso é importante para desenhar). A variável x está dividida em dois intervalos:
  • intervalo à esquerda: \{x\mid x\leq 1\};
  • intervalo à direita: \{x\mid x>1\}.
Em cada intervalo a função é constante (não depende de x):
  • em \{x\mid x\leq 1\} a constante é 0;
  • em \{x\mid x>1\} a constante é 1.
Saber isso já dá a ideia básica: serão duas retas horizontais (segmentos/rayos) em níveis y=0 e y=1.

Passo 3

Como desenhar a parte esquerda ( x\leq 1):
  • Trace uma linha horizontal ao longo de y=0 para todos os x à esquerda de 1. Na prática, desenhe a linha horizontal que passa por y=0 cobrindo, por exemplo, de x=-\infty até x=1.
  • Como a condição inclui x=1 ( x\leq1), marque no ponto (1,0) um ponto preenchido (ponto cheio). Isso indica que o valor da função em x=1 é exatamente 0.
  • Dica prática para o esboço: desenhe o eixo x, o eixo y, marque x=1 no eixo x e desenhe a linha horizontal y=0 atravessando esse ponto com o círculo preenchido em (1,0).

Passo 4

Como desenhar a parte direita ( x>1):
  • Trace uma linha horizontal ao longo de y=1 para todos os x maiores que 1. Na prática, desenhe a linha horizontal que começa imediatamente à direita de x=1 e segue para +\infty.
  • Como a condição é estrita ( x>1), no ponto (1,1) a função não está definida pela segunda expressão; portanto desenhe um círculo vazio (ponto aberto) em (1,1). O círculo aberto significa que a função não assume o valor 1 em x=1.
  • Dica prática: o círculo aberto deve ficar exatamente acima do ponto preenchido que desenhou em (1,0), mostrando claramente o salto.

Passo 5

Interpretação dos limites e continuidade (útil para a prova):
  • Limite pela esquerda em x=1:
\lim_{x\to1^-} f(x)=0
porque para x<1 a função vale sempre 0.
  • Limite pela direita em x=1:
\lim_{x\to1^+} f(x)=1
porque para x>1 a função vale sempre 1.
  • Valor da função em x=1: f(1)=0.
  • Conclusão de continuidade: como \lim_{x\to1^-} f(x)=0 e \lim_{x\to1^+} f(x)=1 e esses limites são diferentes, o limite \lim_{x\to1} f(x) não existe. Logo f tem uma descontinuidade de salto em x=1.

Passo 6

Passo a passo prático para esboçar no caderno (resumindo as marcações):
  1. Desenhe e rotule os eixos x e y. Marque x=1 no eixo x e as alturas y=0 e y=1 no eixo y.
  2. Desenhe a linha horizontal em y=0 para x à esquerda de 1 e coloque um ponto preenchido em (1,0).
  3. Desenhe a linha horizontal em y=1 para x à direita de 1 e coloque um ponto aberto em (1,1).
  4. Verifique visualmente: há um salto vertical entre y=0 e y=1 em x=1.

Resposta

O gráfico consiste em:
y=0 para x\leq 1 (linha horizontal com ponto preenchido em (1,0))
y=1 para x>1 (linha horizontal com ponto aberto em (1,1))

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