Determinar:
\lim _{s \rightarrow+\infty} \frac{(2 s+3)^{3}(3 s-2)^{2}}{(s+5)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando s vai para +\infty da expressão
\frac{(2s+3)^{3}(3s-2)^{2}}{(s+5)^{5}}.
Informações dadas e objetivo:
  • Expressão a avaliar: \dfrac{(2s+3)^{3}(3s-2)^{2}}{(s+5)^{5}}.
  • Queremos \displaystyle\lim_{s\to+\infty} dessa expressão.

Passo 2

Ideia básica que vamos usar (explicação didática):
  • Para s\to+\infty os termos com \dfrac{1}{s} vão para 0. Em particular \displaystyle\lim_{s\to+\infty}\dfrac{1}{s}=0.
  • Podemos fatorar potências de s de numerador e denominador para separar o comportamento dominante (os maiores expoentes de s) e então usar que funções polinomiais e potências são contínuas para trocar limite e operações algébricas.
  • Aqui o grau total do numerador é 3+2=5 e o grau do denominador é 5. Como os graus são iguais, o limite será o quociente dos coeficientes dominantes (mas vamos mostrar isso fatorando passo a passo).

Passo 3

Fatorar s^{5} (maior potência comum) do numerador e do denominador. Escrever cada fator em termos de s:
(2s+3)^{3}=s^{3}\left(2+\frac{3}{s}\right)^{3}, \qquad (3s-2)^{2}=s^{2}\left(3-\frac{2}{s}\right)^{2},
(s+5)^{5}=s^{5}\left(1+\frac{5}{s}\right)^{5}.
Substituindo na expressão original:
\frac{(2s+3)^{3}(3s-2)^{2}}{(s+5)^{5}} = \frac{s^{3}\left(2+\dfrac{3}{s}\right)^{3}\; s^{2}\left(3-\dfrac{2}{s}\right)^{2}} {s^{5}\left(1+\dfrac{5}{s}\right)^{5}} = \frac{s^{5}\left(2+\dfrac{3}{s}\right)^{3}\left(3-\dfrac{2}{s}\right)^{2}}{s^{5}\left(1+\dfrac{5}{s}\right)^{5}}.
Agora cancelar s^{5}:
\frac{(2s+3)^{3}(3s-2)^{2}}{(s+5)^{5}} = \frac{\left(2+\dfrac{3}{s}\right)^{3}\left(3-\dfrac{2}{s}\right)^{2}}{\left(1+\dfrac{5}{s}\right)^{5}}.

Passo 4

Calcular o limite termo a termo, usando que \dfrac{1}{s}\to0 quando s\to+\infty e a continuidade das funções potenciais:
  • \displaystyle\lim_{s\to+\infty}\left(2+\dfrac{3}{s}\right)=2, então \displaystyle\lim_{s\to+\infty}\left(2+\dfrac{3}{s}\right)^{3}=2^{3}.
  • \displaystyle\lim_{s\to+\infty}\left(3-\dfrac{2}{s}\right)=3, então \displaystyle\lim_{s\to+\infty}\left(3-\dfrac{2}{s}\right)^{2}=3^{2}.
  • \displaystyle\lim_{s\to+\infty}\left(1+\dfrac{5}{s}\right)=1, então \displaystyle\lim_{s\to+\infty}\left(1+\dfrac{5}{s}\right)^{5}=1^{5}=1.
Pelo teorema do limite do quociente e do produto (podemos multiplicar e dividir limites quando o denominador não tende a zero), obtemos
\lim_{s\to+\infty}\frac{\left(2+\dfrac{3}{s}\right)^{3}\left(3-\dfrac{2}{s}\right)^{2}}{\left(1+\dfrac{5}{s}\right)^{5}} = \frac{2^{3}\cdot 3^{2}}{1}=8\cdot 9=72.

Passo 5

Interpretação rápida para decorar (útil na prova): quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite no infinito é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes líderes são 2^{3}\cdot3^{2}=8\cdot9 no numerador e 1 no denominador, então dá 72.

Resposta

72

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