Determinar:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
vai para
da expressão
Informações dadas e objetivo:
- Expressão a avaliar:
. - Queremos
dessa expressão.
Passo 2
Ideia básica que vamos usar (explicação didática):
- Para
os termos com vão para . Em particular . - Podemos fatorar potências de
de numerador e denominador para separar o comportamento dominante (os maiores expoentes de ) e então usar que funções polinomiais e potências são contínuas para trocar limite e operações algébricas. - Aqui o grau total do numerador é
e o grau do denominador é . Como os graus são iguais, o limite será o quociente dos coeficientes dominantes (mas vamos mostrar isso fatorando passo a passo).
Passo 3
Fatorar
(maior potência comum) do numerador e do denominador. Escrever cada fator em termos de
:
Substituindo na expressão original:
Agora cancelar
:
Passo 4
Calcular o limite termo a termo, usando que
quando
e a continuidade das funções potenciais:
-
, então . -
, então . -
, então .
Pelo teorema do limite do quociente e do produto (podemos multiplicar e dividir limites quando o denominador não tende a zero), obtemos
Passo 5
Interpretação rápida para decorar (útil na prova): quando os graus do numerador e do denominador são iguais, o limite no infinito é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui os coeficientes líderes são
no numerador e
no denominador, então dá
.