Calcular os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte limite:
Informações e esclarecimentos fornecidos pelo enunciado:
- A variável é
e estamos interessados no comportamento da expressão quando tende a . - A expressão envolve
, portanto só faz sentido para valores de tais que , ou seja . Como queremos , isso não cria problema: podemos aproximar tanto por valores positivos quanto por negativos, desde que . - O objetivo é encontrar o valor numérico do limite (se existir) — isto é, descobrir o número para o qual a expressão se aproxima quando
se aproxima de .
Passo 2
Explicar uma técnica prática útil aqui: a multiplicação pelo conjugado. Para simplificar expressões com raízes, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Isso usa a identidade algébrica básica
onde
e
. Aplicando isso não alteramos a expressão (multiplicamos por
na forma
), e o objetivo é eliminar a raiz no numerador para facilitar a análise do limite.
Passo 3
Multiplicando a fração pelo conjugado:
Pelo produto notado no passo anterior, o numerador simplifica para
Portanto a expressão fica
Passo 4
Simplificação algébrica adicional: para
podemos cancelar o fator
no numerador e denominador. Isso é permitido porque o limite
considera valores de
diferentes de zero próximos de zero. Após o cancelamento obtemos uma forma mais simples:
Passo 5
Agora avaliamos o limite da forma simplificada. Usamos a propriedade de continuidade da função raiz quadrada: a função
é contínua para
. Isso significa que, se
, então
e portanto
. Assim,
Observação intuitiva extra (opcional): para
pequeno é comum aproximar
; substituindo isso daria
, confirmando o resultado anterior. Mas a derivação via conjugado é totalmente algébrica e suficiente sem pressupor conhecimento de derivadas.