Calcular os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right]

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\right].
Informações e esclarecimentos fornecidos pelo enunciado:
  • A variável é x e estamos interessados no comportamento da expressão quando x tende a 0.
  • A expressão envolve \sqrt{1+x}, portanto só faz sentido para valores de x tais que 1+x\ge 0, ou seja x\ge -1. Como queremos x\to 0, isso não cria problema: podemos aproximar 0 tanto por valores positivos quanto por negativos, desde que x>-1.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico do limite (se existir) — isto é, descobrir o número para o qual a expressão se aproxima quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Explicar uma técnica prática útil aqui: a multiplicação pelo conjugado. Para simplificar expressões com raízes, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de \sqrt{1+x}-1 é \sqrt{1+x}+1. Isso usa a identidade algébrica básica
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
onde a=\sqrt{1+x} e b=1. Aplicando isso não alteramos a expressão (multiplicamos por 1 na forma \tfrac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}), e o objetivo é eliminar a raiz no numerador para facilitar a análise do limite.

Passo 3

Multiplicando a fração pelo conjugado:
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} =\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}.
Pelo produto notado no passo anterior, o numerador simplifica para
(\sqrt{1+x})^{2}-1^{2}=(1+x)-1 = x.
Portanto a expressão fica
\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}.

Passo 4

Simplificação algébrica adicional: para x\neq 0 podemos cancelar o fator x no numerador e denominador. Isso é permitido porque o limite x\to 0 considera valores de x diferentes de zero próximos de zero. Após o cancelamento obtemos uma forma mais simples:
\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1},\qquad (x\neq 0).

Passo 5

Agora avaliamos o limite da forma simplificada. Usamos a propriedade de continuidade da função raiz quadrada: a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua para t\ge 0. Isso significa que, se x\to 0, então 1+x\to 1 e portanto \sqrt{1+x}\to \sqrt{1}=1. Assim,
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{\lim_{x\to 0}(\sqrt{1+x})+1} =\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Observação intuitiva extra (opcional): para x pequeno é comum aproximar \sqrt{1+x}\approx 1+\tfrac{x}{2}; substituindo isso daria \dfrac{(1+\tfrac{x}{2})-1}{x}\approx \tfrac{1}{2}, confirmando o resultado anterior. Mas a derivação via conjugado é totalmente algébrica e suficiente sem pressupor conhecimento de derivadas.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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