Determinar:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Observação importante (intuição que costuma salvar em prova): em uma fração de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento quando
. Aqui o grau do numerador é
(termo dominante
) e o grau do denominador é
(termo dominante
). Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a fração costuma ir a
. Vamos fazer isso de forma algébrica e rigorosa dividindo numerador e denominador pela maior potência de
presente, que é
.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora uso limites básicos dos termos
quando
: para todo inteiro
vale
Assim:
e
Passo 5
Como o numerador da fração transformada tende a
e o denominador tende a
(não a
), o limite da razão é
Passo 6
Dica prática para a prova (resumão): comparar graus dos polinômios
- Se grau(numerador) < grau(denominador) ⇒ limite
. - Se graus iguais ⇒ limite = razão dos coeficientes líderes.
- Se grau(numerador) > grau(denominador) ⇒ limite é
(ver sinal pelo termo de maior grau).
Aqui o grau, então já era de se esperar .