Determinar:
\lim _{y \rightarrow+\infty} \frac{2 y^{2}-y+3}{y^{3}-8 y+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando y tende a +\infty da função racional
\frac{2y^{2}-y+3}{y^{3}-8y+3}.
Informações dadas:
  • Numerador: 2y^{2}-y+3.
  • Denominador: y^{3}-8y+3.
  • O ponto de interesse é y\to+\infty.

Passo 2

Observação importante (intuição que costuma salvar em prova): em uma fração de polinômios, os termos de maior grau dominam o comportamento quando y\to\infty. Aqui o grau do numerador é 2 (termo dominante 2y^2) e o grau do denominador é 3 (termo dominante y^3). Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a fração costuma ir a 0. Vamos fazer isso de forma algébrica e rigorosa dividindo numerador e denominador pela maior potência de y presente, que é y^3.

Passo 3

Divido numerador e denominador por y^3:
\frac{2y^{2}-y+3}{y^{3}-8y+3} = \frac{\dfrac{2y^{2}}{y^{3}}-\dfrac{y}{y^{3}}+\dfrac{3}{y^{3}}}{\dfrac{y^{3}}{y^{3}}-\dfrac{8y}{y^{3}}+\dfrac{3}{y^{3}}} = \frac{\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{3}{y^{3}}}{1-\dfrac{8}{y^{2}}+\dfrac{3}{y^{3}}}.

Passo 4

Agora uso limites básicos dos termos 1/y^{k} quando y\to+\infty: para todo inteiro k\ge 1 vale
\lim_{y\to+\infty}\frac{1}{y^{k}}=0.
Assim:
\lim_{y\to+\infty}\left(\frac{2}{y}-\frac{1}{y^{2}}+\frac{3}{y^{3}}\right)=0
e
\lim_{y\to+\infty}\left(1-\frac{8}{y^{2}}+\frac{3}{y^{3}}\right)=1.

Passo 5

Como o numerador da fração transformada tende a 0 e o denominador tende a 1 (não a 0), o limite da razão é
\lim_{y\to+\infty}\frac{\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{3}{y^{3}}}{1-\dfrac{8}{y^{2}}+\dfrac{3}{y^{3}}}=\frac{0}{1}=0.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumão): comparar graus dos polinômios
  • Se grau(numerador) < grau(denominador) ⇒ limite =0.
  • Se graus iguais ⇒ limite = razão dos coeficientes líderes.
  • Se grau(numerador) > grau(denominador) ⇒ limite é \pm\infty (ver sinal pelo termo de maior grau).
    Aqui o grau 2<3, então já era de se esperar 0.

Resposta

0

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