Determinar:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{x-\frac{\pi}{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen}(3x)}{x-\frac{\pi}{3}}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é \operatorname{sen}(3x).
  • O denominador é x-\dfrac{\pi}{3}.
  • O ponto de interesse é x=\dfrac{\pi}{3}.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando x se aproxima de \dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada ao substituir diretamente x=\dfrac{\pi}{3}:
\operatorname{sen}\!\bigl(3\cdot\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\operatorname{sen}(\pi)=0, \qquad x-\tfrac{\pi}{3}\bigg|_{x=\tfrac{\pi}{3}}=0.
Portanto temos a forma 0/0, que é indeterminada — ou seja, é necessário manipular a expressão para calcular o limite.

Passo 3

Fazer uma mudança de variável conveniente para usar um limite fundamental. Defina
u = 3x - \pi.
Então, quando x \to \dfrac{\pi}{3}, temos u \to 0.
Expressar numerador e denominador em função de u:
  • Numerador:
\operatorname{sen}(3x)=\operatorname{sen}\bigl(u+\pi\bigr).
Usando \operatorname{sen}(t+\pi)=-\operatorname{sen}(t), obtemos
\operatorname{sen}(3x) = -\operatorname{sen}(u).
  • Denominador:
x-\tfrac{\pi}{3}=\frac{1}{3}(3x-\pi)=\frac{u}{3}.
Substituindo na fração original:
\frac{\operatorname{sen}(3x)}{x-\frac{\pi}{3}} = \frac{-\operatorname{sen}(u)}{u/3} = -3\cdot\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}.

Passo 4

Apresentar e explicar o limite fundamental usado agora:
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Por que isso é verdade (explicação didática e breve): para ângulos pequenos, a função seno é muito bem aproximada por u (essa é a ideia do “pequeno ângulo”). Rigorosamente, pode-se usar o Teorema do Confronto (squeeze): para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale
\cos u \le \frac{\operatorname{sen} u}{u} \le 1,
e como \lim_{u\to 0}\cos u = 1, pelo confronto segue que \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen} u}{u}=1. Isso captura a razão pela qual o quociente tende a 1.

Passo 5

Aplicar o limite à expressão transformada:
\lim_{x\to \frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen}(3x)}{x-\frac{\pi}{3}} = \lim_{u\to 0} \left(-3\cdot\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\right) = -3\cdot\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u} = -3\cdot 1 = -3.

Passo 6

Observação alternativa (útil na prova): também se pode aplicar a Regra de l’Hôpital, pois a forma é 0/0. Derivando numerador e denominador:
\text{deriv. do numerador} = \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=3\cos(3x), \qquad \text{deriv. do denominador} = 1.
Assim o limite seria 3\cos(3x) avaliado em x=\tfrac{\pi}{3}, ou seja 3\cos(\pi)=3\cdot(-1)=-3, chegando ao mesmo resultado. Essa é uma forma rápida de chekear o resultado.

Resposta

-3

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