Determinar:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x-\frac{\pi}{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x-\frac{\pi}{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão entre \operatorname{sen}(2x) e x-\tfrac{\pi}{2}.
  • O ponto de interesse é x=\tfrac{\pi}{2}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando x se aproxima de \tfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Teste por substituição direta para ver a forma indeterminada:
\operatorname{sen}\!\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}(\pi)=0
e
\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0.
Logo a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso indica que precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 3

Faço a substituição simples para centralizar o ponto de aproximação: seja
t = x - \frac{\pi}{2}.
Quando x \to \tfrac{\pi}{2}, temos t \to 0. Em termos de t:
x = \frac{\pi}{2} + t.
Substituo na função trigonométrica do numerador:
\operatorname{sen}(2x)=\operatorname{sen}\!\big(2(\tfrac{\pi}{2}+t)\big)=\operatorname{sen}(\pi+2t).

Passo 4

Uso a identidade trigonométrica \operatorname{sen}(\pi+\theta)=-\operatorname{sen}(\theta). Assim
\operatorname{sen}(\pi+2t) = -\operatorname{sen}(2t).
A razão fica
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\frac{-\operatorname{sen}(2t)}{t}.
Portanto o limite original é equivalente a
\lim_{t\to 0}\frac{-\operatorname{sen}(2t)}{t}.

Passo 5

Manipulo a expressão para usar o limite fundamental \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}u}{u}=1. Escrevo
\frac{-\operatorname{sen}(2t)}{t} = -2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2t)}{2t}.
Agora note que quando t\to 0 também 2t\to 0, então posso aplicar o limite conhecido para a função \dfrac{\operatorname{sen}u}{u}.

Passo 6

Vou explicar rapidinho por que \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}u}{u}=1 (essa é uma peça chave que costuma cair em provas):
  • Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica \cos u < \dfrac{\operatorname{sen}u}{u} < 1 (obtida a partir das relações \operatorname{sen}u < u < \tan u e manipulando).
  • Como \cos u \to 1 quando u\to 0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que \dfrac{\operatorname{sen}u}{u}\to 1.
  • Para u negativos, a razão é par em sentido adequado e o limite também é 1.
    Portanto é seguro usar esse resultado.

Passo 7

Aplicando o resultado ao nosso caso:
\lim_{t\to 0}-2\cdot\frac{\operatorname{sen}(2t)}{2t} = -2 \cdot 1 = -2.
(Dica alternativa: isso também pode ser visto como a definição de derivada: o limite é \dfrac{d}{dx}\big|_{x=\tfrac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(2x)=2\cos(2x)\big|_{x=\tfrac{\pi}{2}}=2\cos\pi=2(-1)=-2. Mas a técnica com \dfrac{\operatorname{sen}u}{u} é mais elementar e direta.)

Resposta

-2

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