Agora note que quando t\to 0 também 2t\to 0, então posso aplicar o limite conhecido para a função \dfrac{\operatorname{sen}u}{u}.
Passo 6
Vou explicar rapidinho por que \lim_{u\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}u}{u}=1 (essa é uma peça chave que costuma cair em provas):
Para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica \cos u < \dfrac{\operatorname{sen}u}{u} < 1 (obtida a partir das relações \operatorname{sen}u < u < \tan u e manipulando).
Como \cos u \to 1 quando u\to 0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue que \dfrac{\operatorname{sen}u}{u}\to 1.
Para u negativos, a razão é par em sentido adequado e o limite também é 1.
Portanto é seguro usar esse resultado.
(Dica alternativa: isso também pode ser visto como a definição de derivada: o limite é \dfrac{d}{dx}\big|_{x=\tfrac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(2x)=2\cos(2x)\big|_{x=\tfrac{\pi}{2}}=2\cos\pi=2(-1)=-2. Mas a técnica com \dfrac{\operatorname{sen}u}{u} é mais elementar e direta.)