Determine o domínio das função real de uma variável f dada por:
f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x+2)}}.

Passo 1

O enunciado dá a função real de uma variável
f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x+2)}}
e pede determinar o domínio dessa função (ou seja, todos os valores reais de x para os quais a expressão de f(x) faz sentido como número real). Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão contém uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}.
  • A raiz aparece no denominador de uma fração.

Passo 2

O que significa “fazer sentido” aqui (regras que vou usar) — pequenas aulas amigáveis:
  • Regra da raiz quadrada: para \sqrt{A} estar definida como número real, é preciso que A \ge 0. Aqui A será o produto (x-1)(x+2).
  • Regra do denominador: uma fração 1/\text{(algo)} só está definida se o “algo” for diferente de zero. Como o “algo” é \sqrt{(x-1)(x+2)}, precisamos que essa raiz seja diferente de zero.
    Juntando as duas regras: precisamos ter
(x-1)(x+2)\ge 0
pela raiz, e ao mesmo tempo a raiz não pode ser zero, então na prática exigimos
(x-1)(x+2)>0.
Isso é a condição que define o domínio.

Passo 3

Agora vamos resolver a desigualdade
(x-1)(x+2)>0.
Primeiro identifico os pontos em que cada fator muda de sinal: são as raízes dos fatores, ou seja x=1 e x=-2. Esses pontos dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,1) e (1,\infty). Em cada intervalo o sinal de cada fator é constante, então posso testar um ponto de cada intervalo para descobrir o sinal do produto.

Passo 4

Faço o teste de sinais com pontos fáceis:
  • Para x<-2, por exemplo x=-3: x-1=-4<0 e x+2=-1<0. Dois negativos multiplicados dão positivo, então (x-1)(x+2)>0 neste intervalo. Logo todo o intervalo (-\infty,-2) é solução.
  • Para -2<x<1, por exemplo x=0: x-1=-1<0 e x+2=2>0. Negativo vezes positivo é negativo, portanto (x-1)(x+2)<0 neste intervalo e ele não pertence à solução.
  • Para x>1, por exemplo x=2: x-1=1>0 e x+2=4>0. Positivo vezes positivo é positivo, então (x-1)(x+2)>0 neste intervalo, e todo (1,\infty) é solução.
Também confirmo que os pontos x=-2 e x=1 não podem ser incluídos porque nesses pontos o produto é zero e a raiz seria zero, deixando o denominador igual a zero (fração indefinida).

Passo 5

Conclusão prática e dica rápida: quando a raiz está no numerador (por exemplo \sqrt{x-1}) a condição é (\cdot)\ge 0; quando a raiz está no denominador (como aqui) a condição fica estrita (\cdot)>0. Isso é útil para não esquecer de excluir pontos onde o radicando é zero.

Resposta

(-\,\infty,-2)\cup(1,\infty)

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