Determine o domínio das função real de uma variável
dada por:
.
Passo 1
O enunciado dá a função real de uma variável
e pede determinar o domínio dessa função (ou seja, todos os valores reais de
para os quais a expressão de
faz sentido como número real). Informações relevantes do enunciado:
- A expressão contém uma raiz quadrada
. - A raiz aparece no denominador de uma fração.
Passo 2
O que significa “fazer sentido” aqui (regras que vou usar) — pequenas aulas amigáveis:
- Regra da raiz quadrada: para
estar definida como número real, é preciso que . Aqui será o produto . - Regra do denominador: uma fração
só está definida se o “algo” for diferente de zero. Como o “algo” é , precisamos que essa raiz seja diferente de zero.
Juntando as duas regras: precisamos ter
pela raiz, e ao mesmo tempo a raiz não pode ser zero, então na prática exigimos
Isso é a condição que define o domínio.
Passo 3
Agora vamos resolver a desigualdade
Primeiro identifico os pontos em que cada fator muda de sinal: são as raízes dos fatores, ou seja
e
. Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
,
e
. Em cada intervalo o sinal de cada fator é constante, então posso testar um ponto de cada intervalo para descobrir o sinal do produto.
Passo 4
Faço o teste de sinais com pontos fáceis:
- Para
, por exemplo : e . Dois negativos multiplicados dão positivo, então neste intervalo. Logo todo o intervalo é solução. - Para
, por exemplo : e . Negativo vezes positivo é negativo, portanto neste intervalo e ele não pertence à solução. - Para
, por exemplo : e . Positivo vezes positivo é positivo, então neste intervalo, e todo é solução.
Também confirmo que os pontos
e
não podem ser incluídos porque nesses pontos o produto é zero e a raiz seria zero, deixando o denominador igual a zero (fração indefinida).
Passo 5
Conclusão prática e dica rápida: quando a raiz está no numerador (por exemplo
) a condição é
; quando a raiz está no denominador (como aqui) a condição fica estrita
. Isso é útil para não esquecer de excluir pontos onde o radicando é zero.